Determine oint(x^2+y+2 x y^3) d x+(5 x+3 x^2 y^2+y) d y, onde C é a união das curvas C1, C2, C3 dadas por
x+y+1=0,-1 <= x <= 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o integral de linha fechado ointC P,dx + Q,dy, com P(x,y)=x^2+y+2xy^3 e Q(x,y)=5x+3x^2y^2+y, onde C é o contorno do triângulo com vértices (-1,0), (0,-1) e (0,0). O conteúdo principal é aplicar o Teorema de Green, que transforma esse integral de linha em uma integral dupla sobre a região D interna a C. Vamos precisar das derivadas parciais de P e Q e da área de D.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, para orientação positiva (região à esquerda), vale:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA

Passo 3

Calculemos as derivadas:
partial Qpartial x = partialpartial x(5x + 3x^2y^2 + y) = 5 + 6xy^2,
partial Ppartial y = partialpartial y(x^2 + y + 2xy^3) = 1 + 6xy^2

Passo 4

Logo o integrando fica
partial Qpartial x - partial Ppartial y = (5 + 6xy^2) - (1 + 6xy^2) = 4,
que é constante sobre D.

Passo 5

A região D é o triângulo de base 1 e altura 1, logo
Área(D) = tfrac12 times 1 times 1 = tfrac12Á

Passo 6

Portanto o integral fecha para
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD 4,dA = 4 times tfrac12 = 2

Resposta

2

Exercícios relacionados