Determine a equação da reta que passa por A(1,2) e forma um ângulo de 45^{\circ} com a reta y=-x+3.

Passo 1

O enunciado pede a(s) equação(ões) da(s) reta(s) que passam por A(1,2) e que formam um ângulo de 45^\circ com a reta dada y=-x+3.
Informações fornecidas:
  • Ponto por onde a(s) reta(s) devem passar: A(1,2).
  • Reta dada: y=-x+3. Dela extraímos a inclinação (coeficiente angular) da reta: m_1=-1.
  • Queremos todas as retas que fazem ângulo \theta=45^\circ com essa reta.

Passo 2

Vamos entender a relação entre inclinação (coeficiente angular) e ângulo de uma reta. A inclinação m de uma reta é o valor de \tan do ângulo \varphi que a reta faz com o eixo positivo x: \;m=\tan\varphi\;.
Se duas retas têm inclinações m_1 e m_2 e formam um ângulo \theta entre si, vale a fórmula (proveniente da fórmula da tangente da diferença de ângulos):
\tan\theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|.
Aqui:
  • \theta é o ângulo mínimo entre as retas (neste problema \theta=45^\circ),
  • m_1 é a inclinação da reta dada ( m_1=-1),
  • m_2 é a inclinação da reta procurada (desconhecida).
Vou usar essa fórmula para encontrar possíveis valores de m_2. Atenção: essa fórmula usa inclinações finitas; se uma das retas for vertical (inclinação infinita) a fórmula não a trata diretamente e teremos que considerar esse caso à parte.

Passo 3

Aplicando a fórmula com \theta=45^\circ (sabendo que \tan45^\circ=1) e m_1=-1, obtemos:
1=\left|\frac{m_2-(-1)}{1+(-1)m_2}\right| =\left|\frac{m_2+1}{1-m_2}\right|.
Isso significa que
\frac{m_2+1}{1-m_2}=1\quad\text{ou}\quad\frac{m_2+1}{1-m_2}=-1.
Resolvendo a primeira igualdade:
\frac{m_2+1}{1-m_2}=1 \quad\Rightarrow\quad m_2+1=1-m_2 \quad\Rightarrow\quad 2m_2=0 \quad\Rightarrow\quad m_2=0.
Resolvendo a segunda igualdade:
\frac{m_2+1}{1-m_2}=-1 \quad\Rightarrow\quad m_2+1=-1+m_2 \quad\Rightarrow\quad 1=-1,
o que é impossível — portanto não surge outra solução finita dessa equação.

Passo 4

Já encontramos uma solução finita: m_2=0. Mas devemos lembrar do caso em que a reta procurada pode ser vertical (inclinação infinita), que não aparece nas soluções acima porque a fórmula usa m_2 finito. Para verificar se existe uma reta vertical que também faz 45^\circ com a dada, é útil trabalhar com ângulos diretores.
Calcule o ângulo diretor \varphi_1 da reta dada. Podemos tomar \varphi_1=\arctan(m_1)=\arctan(-1). Uma forma conveniente é escolher o ângulo equivalente \varphi_1=135^\circ (pois a reta com m=-1 pode ser vista com direção 135^\circ). As direções que ficam a 45^\circ de \varphi_1 são
\varphi_2=\varphi_1\pm45^\circ = 135^\circ\pm45^\circ,
ou seja \varphi_2=180^\circ e \varphi_2=90^\circ.
Agora obtemos as inclinações:
  • Para \varphi_2=180^\circ: m_2=\tan180^\circ=0 (já encontrada).
  • Para \varphi_2=90^\circ: \tan90^\circ é indefinido, isto é, a reta é vertical.
Portanto há duas retas que satisfazem a condição: uma com m_2=0 (reta horizontal) e outra vertical.

Passo 5

Agora escrevemos as equações dessas retas que passam por A(1,2).
  1. Reta com m_2=0 (horizontal): uma reta horizontal tem equação y= constante; como passa por A(1,2), a constante é 2. Logo a equação é
y=2.
  1. Reta vertical: uma reta vertical que passa por A(1,2) tem equação x= constante; como A tem x=1, a equação é
x=1.
Podemos verificar rapidamente: para y=2 a diferença de inclinações com m_1=-1 \left|\dfrac{0-(-1)}{1+0\cdot(-1)}\right|=1\Rightarrow\theta=45^\circ. A reta x=1 é vertical e, como mostrado nos ângulos diretores, está a 45^\circ da reta y=-x+3.

Resposta

y=2
x=1

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