Considere o produto interno em R2: \langle(\mathrm{x}, \mathrm{y}),(\mathrm{u}, \mathrm{v})\rangle=2 \mathrm{xu}+3 \mathrm{yv}.
Determine o módulo do vetor \mathrm{v}=(2,-1).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o módulo (norma) do vetor v=(2,-1) quando o produto interno em \mathbb{R}^2 é dado por
\langle (x,y),(u,v)\rangle = 2xu + 3yv.
Informações fornecidas:
  • A regra do produto interno: \langle (x,y),(u,v)\rangle = 2xu + 3yv.
  • O vetor cujo módulo deve ser calculado: v=(2,-1).
    A pergunta é: qual é o módulo (norma) de v associado a esse produto interno?

Passo 2

Conceito que vamos usar: a norma (ou módulo) induzida por um produto interno é definida por
\|w\| = \sqrt{\langle w,w\rangle},
onde w é qualquer vetor e \langle w,w\rangle é o produto interno do vetor consigo mesmo. Aqui, cada letra nas fórmulas representa:
  • w: vetor qualquer em \mathbb{R}^2.
  • \langle w,w\rangle: número real dado pelo produto interno aplicado ao par (w,w).
  • \|\cdot\|: função que dá o comprimento (módulo) do vetor.
Então, para encontrar o módulo de v basta calcular \langle v,v\rangle e tirar a raiz quadrada.

Passo 3

Aplicando a fórmula do produto interno ao mesmo vetor: se tomamos w=(x,y) e aplicamos \langle w,w\rangle, obtemos
\langle (x,y),(x,y)\rangle = 2x x + 3y y = 2x^2 + 3y^2.
Isto é, quando os dois vetores são iguais, basta substituir u=x e v=y na expressão original.

Passo 4

Agora substituímos as componentes do vetor v. Para v=(2,-1) temos x=2 e y=-1. Então
\langle v,v\rangle = 2\cdot 2^2 + 3\cdot (-1)^2.
Calcule passo a passo:
2^2 = 4,\qquad (-1)^2 = 1,
2\cdot 4 = 8,\qquad 3\cdot 1 = 3,
\langle v,v\rangle = 8 + 3 = 11.

Passo 5

Finalmente, a norma de v é a raiz quadrada de 11:
\|v\| = \sqrt{\langle v,v\rangle} = \sqrt{11}.
Observação encorajadora: deu um número simples por ser soma de quadrados ponderados; em prova, escrever o procedimento claro (definição da norma, substituir componentes, calcular) garante pontos.

Resposta

\sqrt{11}

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