Considere o produto interno em R2:
.
Determine o módulo do vetor
.
Determine o módulo do vetor
Passo 1
O enunciado pede para determinar o módulo (norma) do vetor
quando o produto interno em
é dado por
Informações fornecidas:
- A regra do produto interno:
. - O vetor cujo módulo deve ser calculado:
.
A pergunta é: qual é o módulo (norma) deassociado a esse produto interno?
Passo 2
Conceito que vamos usar: a norma (ou módulo) induzida por um produto interno é definida por
onde
é qualquer vetor e
é o produto interno do vetor consigo mesmo. Aqui, cada letra nas fórmulas representa:
-
: vetor qualquer em . -
: número real dado pelo produto interno aplicado ao par . -
: função que dá o comprimento (módulo) do vetor.
Então, para encontrar o módulo de
basta calcular
e tirar a raiz quadrada.
Passo 3
Aplicando a fórmula do produto interno ao mesmo vetor: se tomamos
e aplicamos
, obtemos
Isto é, quando os dois vetores são iguais, basta substituir
e
na expressão original.
Passo 4
Agora substituímos as componentes do vetor
. Para
temos
e
. Então
Calcule passo a passo:
Passo 5
Finalmente, a norma de
é a raiz quadrada de
:
Observação encorajadora: deu um número simples por ser soma de quadrados ponderados; em prova, escrever o procedimento claro (definição da norma, substituir componentes, calcular) garante pontos.