Determine a equação da reta que passa pelo ponto B e é perpendicular à reta AC.

Passo 1

O que o exercício pede: determinar a equação da reta que passa pelo ponto B e é perpendicular à reta AC.
Informações visíveis na imagem (peguei esses dados da imagem):
  • A imagem mostra que o ponto C está no segmento entre A e B e que \overline{AC}=1{,}5\\ \mathrm{m} e \overline{CB}=1{,}5\\ \mathrm{m} (peguei esses comprimentos escritos ao lado do segmento na imagem).
  • A imagem também mostra que a vertical que passa por A tem uma marca de 2\\ \mathrm{m} até um ponto de referência (peguei esse valor da marca vertical na imagem).
  • Não há, porém, coordenadas numéricas explícitas (pares (x,y)) para A, C ou B na imagem, nem ângulo numérico da reta AC. Portanto não tenho valores numéricos de x_A,y_A,x_C,y_C,x_B,y_B disponíveis na figura.
Conclusão do passo: sei o que pedem e quais comprimentos dados estão na figura, mas NÃO há coordenadas numéricas explícitas para A, C e B. Com isso, não é possível obter uma equação numérica única sem primeiro escolher um sistema de coordenadas e medir (ou receber) as coordenadas dos pontos.

Passo 2

Conceito que vamos usar (aula rápida sobre declive/coeficiente angular):
  • Se tivermos dois pontos P_1=(x_1,y_1) e P_2=(x_2,y_2), o coeficiente angular (inclinação, slope) da reta que passa por eles é dado por
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},
desde que x_2\neq x_1.
Expliquei: o numerador é a variação vertical (subida) e o denominador a variação horizontal (avanço). Esse quociente diz quantas unidades subimos por unidade que andamos para a direita.

Passo 3

Como obter o coeficiente angular da reta AC:
  • Se eu conhecesse as coordenadas de A e C, o coeficiente angular de AC seria
m_{AC}=\frac{y_C-y_A}{x_C-x_A}.
  • Observação de caso especial: se x_C=x_A então AC é vertical e m_{AC} não está definido (reta vertical).

Passo 4

Propriedade de retas perpendiculares (aula rápida):
  • Duas retas não-verticais são perpendiculares se e somente se os seus coeficientes angulares m_1 e m_2 obedecem
m_1\cdot m_2=-1.
  • Portanto, se m_{AC} é o coeficiente de AC (e m_{AC}\neq0), o coeficiente angular m_{\perp} da reta perpendicular a AC satisfaz
m_{\perp}=-\frac{1}{m_{AC}}.
  • Casos especiais:
    • Se m_{AC}=0 (ou seja, AC é horizontal) então a perpendicular é vertical.
    • Se AC é vertical (coeficiente indefinido) então a perpendicular é horizontal (coeficiente 0).

Passo 5

Forma da equação da reta que procuramos (aula-prática para usar na prova):
  • Para escrever a reta que passa por B=(x_B,y_B) com coeficiente angular m_{\perp} usamos a forma ponto-declive (point-slope):
y-y_B=m_{\perp}\,(x-x_B).
  • Substituindo m_{\perp}=-\dfrac{1}{m_{AC}} e m_{AC}=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}, obtemos, em termos dos pontos A,C,B,
y-y_B=-\frac{1}{\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}}\,(x-x_B) \quad\Longrightarrow\quad y-y_B=-\frac{x_C-x_A}{y_C-y_A}\,(x-x_B),
válido quando y_C\neq y_A (ou seja, quando AC não é horizontal).
  • Nos casos especiais:
    • Se y_C=y_A (logo m_{AC}=0) então a reta AC é horizontal e a reta perpendicular é vertical; a equação da perpendicular que passa por B é simplesmente x=x_B.
    • Se x_C=x_A (logo AC é vertical) então a reta perpendicular é horizontal e a equação é y=y_B.

Passo 6

Aplicação prática ao enunciado e conclusão:
  • Para dar uma equação numérica concreta eu precisaria das coordenadas (x_A,y_A), (x_C,y_C) e (x_B,y_B) no sistema de referência que escolhermos (ou, alternativamente, do ângulo e de uma distância horizontal/vertical que permitam determinar as componentes). A figura não fornece essas coordenadas numéricas explicitamente, só comprimentos ao longo do segmento (por exemplo \overline{AC} e \overline{CB}), portanto NÃO POSSO calcular numericamente a equação exata sem uma escolha/medida adicional (por exemplo, escolher a interseção das linhas tracejadas como origem e medir as projeções horizontais de A e B, algo que não está numerado na figura).
  • Se você me der (ou medir na figura e me informar) dois números: por exemplo as coordenadas de A e B ou de A e C ou as projeções horizontais/verticais necessárias, eu aplico imediatamente a fórmula do Passo 5 e te dou a equação pronta.

Resposta

\boxed{\,y-y_B=-\dfrac{x_C-x_A}{y_C-y_A}\,(x-x_B)\,} \quad\text{(se }y_C\neq y_A\text{).}
Se y_C=y_A então a reta perpendicular é x=x_B. Se x_C=x_A então a reta perpendicular é y=y_B.

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