Determine a equação da reta que passa pelo ponto A e é perpendicular à reta BC.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a equação da reta que passa pelo ponto A e que é perpendicular à reta BC.
Informações dadas (que eu extraí da imagem):
  • A figura mostra os pontos A, B e C, com C em algum ponto entre A e B (ou seja, B, C, A são colineares numa mesma barra).
  • A imagem contém medidas físicas (como 1{,}5\\ \mathrm{m}, 2\\ \mathrm{m}, etc.), mas os valores numéricos exatos das coordenadas cartesianas de A, B e C não estão apresentados em coordenadas (x,y) legíveis na imagem que você enviou.
Observação importante: para escrever uma equação numérica (com números concretos) eu precisaria das coordenadas (x_A,y_A), (x_B,y_B) e (x_C,y_C) em algum sistema cartesiano. Como a imagem não fornece essas coordenadas de modo legível, vou explicar passo a passo como obter a equação em termos das coordenadas (isto é, uma receita completa que você pode aplicar na prova ou, se você me fornecer as coordenadas, eu já coloco os números). Vou também mostrar formas alternativas de escrever a reta (inclinação/forma normal/forma vetorial) e dar exemplos simples para fixar.

Passo 2

Conceito chave 1 — inclinação (coeficiente angular) de uma reta:
Se tivermos dois pontos B(x_B,y_B) e C(x_C,y_C) distintos, a inclinação (coeficiente angular) da reta BC é dada por
m_{BC}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}.
Explicando: a inclinação é a “variação vertical” dividida pela “variação horizontal” entre os dois pontos. Se x_C=x_B a reta é vertical e m_{BC} não está definida (infinito).

Passo 3

Conceito chave 2 — reta perpendicular:
Se uma reta tem inclinação m, qualquer reta perpendicular a ela terá inclinação igual a -\dfrac{1}{m} (desde que m\neq0). Em símbolos:
  • Se reta r tem inclinação m_r, uma reta s perpendicular tem inclinação m_s=-\dfrac{1}{m_r}.
    Explicando: produtos das inclinações de retas perpendiculares é -1: m_r\cdot m_s=-1.
Caso especial: se BC for vertical ( x_C=x_B), então BC tem inclinação “infinita” e a reta perpendicular é horizontal (inclinação 0). Se BC for horizontal ( y_C=y_B, m_{BC}=0), então a perpendicular é vertical.

Passo 4

Conceito chave 3 — equação da reta que passa por um ponto e tem inclinação conhecida (forma ponto-inclinação):
A equação de uma reta que passa por A(x_A,y_A) e tem inclinação m é
y-y_A=m\,(x-x_A).
Isto é prático na prova: use o ponto dado e o coeficiente angular para escrever direto a equação.

Passo 5

Aplicando ao nosso problema (forma geral):
  1. Calcule a inclinação de BC:
m_{BC}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}.
  1. A inclinação da reta perpendicular a BC é
m_{\perp}=-\frac{1}{m_{BC}}\quad\text{(se }m_{BC}\neq0\text{)}.
  1. A equação da reta que passa por A(x_A,y_A) e é perpendicular a BC (usando ponto-inclinação) é
y-y_A=m_{\perp}(x-x_A).
Substituindo m_{\perp} obtemos explicitamente
y-y_A=-\frac{1}{m_{BC}}\,(x-x_A) \quad\text{com}\quad m_{BC}=\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}.

Passo 6

Outra forma útil (sem divisão por zero) — forma com vetores normais:
Se o vetor diretor de BC for \vec{v}=(x_C-x_B,\;y_C-y_B), então um vetor normal (perpendicular) é \vec{n}=(-(y_C-y_B),\;x_C-x_B). A equação da reta passando por A(x_A,y_A) com normal \vec{n}=(n_x,n_y) é
n_x(x-x_A)+n_y(y-y_A)=0.
Aplicando \vec{n}=(-(y_C-y_B),\;x_C-x_B) obtemos a forma sem divisão:
-(y_C-y_B)\,(x-x_A)+(x_C-x_B)\,(y-y_A)=0.
Esta forma é especialmente prática se BC for vertical ou se quiser evitar o cálculo de -1/m_{BC}.

Passo 7

Exemplinho prático (para fixar): suponha que da figura você consiga ler B(0,0), C(1,1) e A(2,3).
  • Primeiro m_{BC}=(1-0)/(1-0)=1.
  • Então m_{\perp}=-1.
  • A reta procurada é
y-3=-1(x-2)\quad\text{ou}\quad y-3=-x+2,
ou seja
y=-x+5.
Se estivesse usando a forma com vetores: \vec{v}=(1,1), \vec{n}=(-1,1) e a equação seria -1(x-2)+1(y-3)=0\Rightarrow -x+2+y-3=0\Rightarrow y=-x+1. (Repare que nesse exemplo hipotético os pontos teriam que ser consistentes; aqui apenas demonstrei as duas maneiras — sempre confira sinais e substituições.)

Passo 8

Resumo prático — o que você faz na prova, passo a passo, sem erro:
  1. Leia/extraia as coordenadas A(x_A,y_A), B(x_B,y_B), C(x_C,y_C) da figura (ou do enunciado). Declare o sistema de coordenadas claramente.
  2. Calcule m_{BC}=\dfrac{y_C-y_B}{x_C-x_B} (ou verifique se x_C=x_B — caso vertical).
  3. Se m_{BC}\neq0, calcule m_{\perp}=-\dfrac{1}{m_{BC}} e escreva y-y_A=m_{\perp}(x-x_A).
  4. Se m_{BC}=0 (BC horizontal), a reta procurada é vertical: x=x_A.
  5. Se x_C=x_B (BC vertical), a reta procurada é horizontal: y=y_A.
  6. Faça a álgebra final para colocar no formato pedido (inclinação-interseção, geral ax+by+c=0, etc.).

Resposta

y-y_A=-\frac{1}{\displaystyle\frac{y_C-y_B}{x_C-x_B}}\,(x-x_A)
ou, equivalentemente,
-(y_C-y_B)\,(x-x_A)+(x_C-x_B)\,(y-y_A)=0.

Exercícios relacionados