Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e forma um ângulo de
com o eixo
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede: determinar a equação da reta que passa por
e forma um ângulo de com o eixo . - Dados: um ponto da reta
e o ângulo que a reta faz com o eixo .
Pronto — agora que sabemos exatamente o que querem, bora resolver passo a passo.
Passo 2
Ligando ângulo e inclinação (slope): o que é a inclinação de uma reta e como ela se relaciona com o ângulo.
- Definição: a inclinação (ou coeficiente angular) de uma reta é o número
que mede o “subida por unidade de avanço” (rise over run). Em termos de um triângulo retângulo formado pela reta e o eixo , temos
- Aqui
é o ângulo que a reta faz com o eixo medido a partir do sentido positivo do eixo . Então, para qualquer reta que faça ângulo com o eixo ,
(Explicação rápida do
: em trigonometria do triângulo retângulo,
é justamente a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.)
Passo 3
Calcular a inclinação usando
.
- Aplicando a fórmula
com ,
- Conclusão: a reta tem coeficiente angular
.
Passo 4
Usar a forma ponto-inclinação (point-slope) da equação da reta e obter a equação explícita.
- Fórmula ponto-inclinação: se uma reta tem inclinação
e passa por um ponto , sua equação é
Aqui
e
são as coordenadas do ponto dado, e
é a inclinação que encontramos.
- Substituindo
, e ,
- Agora simplificamos para a forma mais comum (forma reduzida):
Passo 5
Cheque rápido (para ganhar confiança):
- Verificar que a reta passa por
: substituindo em dá — OK. - Verificar inclinação: coeficiente de
é , que corresponde a um ângulo de — OK.
Boa! Está tudo consistente.