Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e forma um ângulo de 45^{\circ} com o eixo x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede: determinar a equação da reta que passa por (1,2) e forma um ângulo de 45^\circ com o eixo x.
  • Dados: um ponto da reta (1,2) e o ângulo \theta = 45^\circ que a reta faz com o eixo x.
    Pronto — agora que sabemos exatamente o que querem, bora resolver passo a passo.

Passo 2

Ligando ângulo e inclinação (slope): o que é a inclinação de uma reta e como ela se relaciona com o ângulo.
  • Definição: a inclinação (ou coeficiente angular) de uma reta é o número m que mede o “subida por unidade de avanço” (rise over run). Em termos de um triângulo retângulo formado pela reta e o eixo x, temos
m=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}=\tan(\theta).
  • Aqui \theta é o ângulo que a reta faz com o eixo x medido a partir do sentido positivo do eixo x. Então, para qualquer reta que faça ângulo \theta com o eixo x,
m=\tan(\theta).
(Explicação rápida do \tan: em trigonometria do triângulo retângulo, \tan é justamente a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente.)

Passo 3

Calcular a inclinação usando \theta=45^\circ.
  • Aplicando a fórmula m=\tan(\theta) com \theta=45^\circ,
m=\tan(45^\circ)=1.
  • Conclusão: a reta tem coeficiente angular m=1.

Passo 4

Usar a forma ponto-inclinação (point-slope) da equação da reta e obter a equação explícita.
  • Fórmula ponto-inclinação: se uma reta tem inclinação m e passa por um ponto (x_0,y_0), sua equação é
y-y_0=m\bigl(x-x_0\bigr).
Aqui x_0 e y_0 são as coordenadas do ponto dado, e m é a inclinação que encontramos.
  • Substituindo x_0=1, y_0=2 e m=1,
y-2=1\cdot\bigl(x-1\bigr).
  • Agora simplificamos para a forma mais comum (forma reduzida):
y-2=x-1
y=x+1.

Passo 5

Cheque rápido (para ganhar confiança):
  • Verificar que a reta passa por (1,2): substituindo x=1 em y=x+1 y=2 — OK.
  • Verificar inclinação: coeficiente de x é 1, que corresponde a um ângulo de 45^\circ — OK.
    Boa! Está tudo consistente.

Resposta

y=x+1

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