Determine a equação da reta que passa pelo ponto (2, 2) e forma um ângulo de 45° com o eixo x.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação da reta que passa pelo ponto
e forma um ângulo de
com o eixo
.
Informações dadas: o ponto por onde a reta passa é e o ângulo entre a reta e o eixo
é
.
Informações dadas: o ponto por onde a reta passa é
Passo 2
Conceito importante: a inclinação (coeficiente angular)
de uma reta que forma um ângulo
com o eixo
é dada por
Explicando devagarinho:
é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente num triângulo retângulo associado ao ângulo
. Quando medimos a inclinação de uma reta, imaginamos um triângulo formado por um deslocamento horizontal
e o correspondente deslocamento vertical
. A definição de inclinação é
Por isso podemos relacionar
com
e obter
. Aqui cada símbolo significa:
é quanto avançamos em
,
é quanto subimos em
, e
é a razão entre eles.
Passo 3
Calculemos a inclinação usando
. Sabemos, por geometria de triângulos isósceles
, que
Logo
Passo 4
Agora usamos a fórmula da reta conhecida como forma ponto-inclinação (point-slope): se uma reta tem inclinação
e passa pelo ponto
, sua equação é
Aqui
e
são as coordenadas do ponto conhecido (no nosso caso
,
), e
é a inclinação que acabamos de achar.
Passo 5
Substituímos
e
na fórmula:
Simplificando,
Verificação rápida: para
obtemos
, então a reta realmente passa por
.