Determine a equação da reta que passa pelo ponto (2, 2) e forma um ângulo de 45° com o eixo x.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da reta que passa pelo ponto (2,2) e forma um ângulo de 45^\circ com o eixo x.
Informações dadas: o ponto por onde a reta passa é (2,2) e o ângulo entre a reta e o eixo x é \theta=45^\circ.

Passo 2

Conceito importante: a inclinação (coeficiente angular) m de uma reta que forma um ângulo \theta com o eixo x é dada por
m=\tan(\theta).
Explicando devagarinho: \tan(\theta) é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente num triângulo retângulo associado ao ângulo \theta. Quando medimos a inclinação de uma reta, imaginamos um triângulo formado por um deslocamento horizontal \Delta x e o correspondente deslocamento vertical \Delta y. A definição de inclinação é
m=\frac{\Delta y}{\Delta x}.
Por isso podemos relacionar \Delta y/\Delta x com \tan(\theta) e obter m=\tan(\theta). Aqui cada símbolo significa: \Delta x é quanto avançamos em x, \Delta y é quanto subimos em y, e m é a razão entre eles.

Passo 3

Calculemos a inclinação usando \theta=45^\circ. Sabemos, por geometria de triângulos isósceles 45^\circ\!-\!45^\circ\!-\!90^\circ, que
\tan(45^\circ)=1.
Logo
m=\tan(45^\circ)=1.

Passo 4

Agora usamos a fórmula da reta conhecida como forma ponto-inclinação (point-slope): se uma reta tem inclinação m e passa pelo ponto (x_0,y_0), sua equação é
y-y_0 = m\,(x-x_0).
Aqui x_0 e y_0 são as coordenadas do ponto conhecido (no nosso caso x_0=2, y_0=2), e m é a inclinação que acabamos de achar.

Passo 5

Substituímos m=1 e (x_0,y_0)=(2,2) na fórmula:
y-2 = 1\cdot(x-2).
Simplificando,
y-2 = x-2 \quad\Rightarrow\quad y = x.
Verificação rápida: para x=2 obtemos y=2, então a reta realmente passa por (2,2).

Resposta

y = x

Exercícios relacionados