Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e forma um ângulo de
com o eixo
Passo 1
O enunciado dá o ponto
por onde a reta passa e diz que a reta forma um ângulo de
com o eixo
. A pergunta é: determinar a(s) equação(ões) da(s) reta(s) que satisfaz(em) essas condições. Informações relevantes fornecidas:
- Ponto dado:
. - Ângulo com o eixo
: .
A resolução começa a partir destas duas informações.
Passo 2
Relação entre ângulo e coeficiente angular (inclinação): se uma reta faz um ângulo
com o eixo
(medido a partir do sentido positivo do eixo
), o coeficiente angular
da reta é dado por
Explicando de forma simples: imagine um triângulo retângulo formado ao projetar um segmento da reta sobre os eixos; a tangente do ângulo é “oposto/adjacente”, que é exatamente a subida dividida pela corrida, ou seja, o coeficiente angular. Importante: a "medida do ângulo com o eixo
" costuma significar que a reta pode fazer esse ângulo para cima ou para baixo, então devemos considerar
e
(esses dois ângulos têm a mesma magnitude de
em relação ao eixo).
Passo 3
Calcular
. Usando o triângulo notável
ou valores trigonométricos conhecidos,
Portanto as possibilidades para o coeficiente angular são
por causa da observação do passo anterior (ângulo de
acima ou abaixo do eixo).
Passo 4
Fórmula ponto-inclinação (fórmula que usamos para escrever a reta quando sabemos um ponto
e o coeficiente angular
):
Aqui
é o ponto dado e
é o coeficiente angular. Vamos aplicar com
e
.
Passo 5
Caso
. Substituindo na fórmula ponto-inclinação:
Desenvolvendo para a forma
:
Ou, escrevendo o coeficiente linear de forma simples,
Passo 6
Caso
. Substituindo na fórmula ponto-inclinação:
Desenvolvendo:
Ou seja,