Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e forma um ângulo de 60^{\circ} com o eixo x

Passo 1

O enunciado dá o ponto (1,2) por onde a reta passa e diz que a reta forma um ângulo de 60^\circ com o eixo x. A pergunta é: determinar a(s) equação(ões) da(s) reta(s) que satisfaz(em) essas condições. Informações relevantes fornecidas:
  • Ponto dado: (1,2).
  • Ângulo com o eixo x: 60^\circ.
    A resolução começa a partir destas duas informações.

Passo 2

Relação entre ângulo e coeficiente angular (inclinação): se uma reta faz um ângulo \theta com o eixo x (medido a partir do sentido positivo do eixo x), o coeficiente angular m da reta é dado por
m=\tan(\theta).
Explicando de forma simples: imagine um triângulo retângulo formado ao projetar um segmento da reta sobre os eixos; a tangente do ângulo é “oposto/adjacente”, que é exatamente a subida dividida pela corrida, ou seja, o coeficiente angular. Importante: a "medida do ângulo com o eixo x" costuma significar que a reta pode fazer esse ângulo para cima ou para baixo, então devemos considerar \theta=+60^\circ e \theta=-60^\circ (esses dois ângulos têm a mesma magnitude de 60^\circ em relação ao eixo).

Passo 3

Calcular \tan(60^\circ). Usando o triângulo notável 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ ou valores trigonométricos conhecidos,
\tan(60^\circ)=\sqrt{3}.
Portanto as possibilidades para o coeficiente angular são
m=+\sqrt{3}\quad\text{ou}\quad m=-\sqrt{3},
por causa da observação do passo anterior (ângulo de 60^\circ acima ou abaixo do eixo).

Passo 4

Fórmula ponto-inclinação (fórmula que usamos para escrever a reta quando sabemos um ponto (x_0,y_0) e o coeficiente angular m):
y-y_0 = m(x-x_0).
Aqui (x_0,y_0) é o ponto dado e m é o coeficiente angular. Vamos aplicar com (x_0,y_0)=(1,2) e m=\pm\sqrt{3}.

Passo 5

Caso m=+\sqrt{3}. Substituindo na fórmula ponto-inclinação:
y-2 = \sqrt{3}\,(x-1).
Desenvolvendo para a forma y=mx+b:
y-2 = \sqrt{3}\,x - \sqrt{3}
y = \sqrt{3}\,x - \sqrt{3} + 2.
Ou, escrevendo o coeficiente linear de forma simples,
y = \sqrt{3}\,x + \bigl(2-\sqrt{3}\bigr).

Passo 6

Caso m=-\sqrt{3}. Substituindo na fórmula ponto-inclinação:
y-2 = -\sqrt{3}\,(x-1).
Desenvolvendo:
y-2 = -\sqrt{3}\,x + \sqrt{3}
y = -\sqrt{3}\,x + \sqrt{3} + 2.
Ou seja,
y = -\sqrt{3}\,x + \bigl(2+\sqrt{3}\bigr).

Resposta

y=\sqrt{3}\,x+(2-\sqrt{3})
y=-\sqrt{3}\,x+(2+\sqrt{3})

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