Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1, 2) e é normal à curva y = x^2 no ponto (2, 4).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa em (1,2) e é normal à curva y=x^2 no ponto (2,4). Para isso vamos usar o conceito de derivada para obter o coeficiente angular da tangente e, em seguida, encontrar o coeficiente angular da normal.

Passo 2

A derivada de y=x^2 é
\frac{dy}{dx}=2x,
que nos dá o coeficiente angular da reta tangente em qualquer x.

Passo 3

No ponto x=2 o coeficiente angular da tangente é
m_{\text{t}}=2\cdot 2=4.
A reta normal é perpendicular à tangente, logo seu coeficiente angular é
m_{\text{n}}=-\frac{1}{m_{\text{t}}}=-\frac{1}{4}.

Passo 4

Usamos a forma ponto–inclinação da reta com m_{\text{n}}=-\tfrac{1}{4} passando por (1,2):
y-2 = -\tfrac{1}{4}\,(x-1).

Resposta

y = -\tfrac{1}{4}x + \tfrac{9}{4}

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