Determine a equação da reta que passa pelo ponto (5, -1) e é paralela à reta que passa pelos pontos (1, 2) e (3, 4).

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da reta que passa pelo ponto (5,-1) e é paralela à reta que passa pelos pontos (1,2) e (3,4).\n
Dados fornecidos: os pontos (1,2), (3,4) (usados para achar a inclinação da reta de referência) e o ponto (5,-1) (ponto por onde a reta pedida deve passar).\n
Pergunta final: qual é a equação da reta pedida?

Passo 2

Vamos calcular a inclinação (coeficiente angular) da reta que passa por (1,2) e (3,4).\n
A fórmula da inclinação entre dois pontos é
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1},
onde (x_1,y_1) e (x_2,y_2) são os dois pontos. Aqui, x_1=1, y_1=2, x_2=3, y_2=4.\n
Substituindo:
m = \frac{4-2}{3-1} = \frac{2}{2} = 1.
Explicando a fórmula: m mede quanto a reta sobe (variação em y) para cada unidade que anda para a direita (variação em x). No nosso caso, a reta sobe 2 quando anda 2, então a inclinação é 1.

Passo 3

Duas retas paralelas têm a mesma inclinação. Portanto, a reta pedida também terá inclinação
m = 1.

Passo 4

Usamos a forma ponto-inclinação (point-slope) da equação da reta. A fórmula é
y - y_0 = m(x - x_0),
onde (x_0,y_0) é um ponto da reta e m é a inclinação. Aqui vamos usar o ponto (5,-1) dado e m=1.

Passo 5

Substituindo x_0=5, y_0=-1 e m=1 na fórmula ponto-inclinação obtemos
y - (-1) = 1\cdot (x - 5).
Simplificando o sinal:
y + 1 = x - 5.
Agora isolamos y: subtraindo 1 de ambos os lados isolamos y.

Passo 6

Verificação rápida: substituindo o ponto (5,-1) na forma intermediária y + 1 = x - 5 temos no lado esquerdo -1 + 1 = 0 e no direito 5 - 5 = 0, então o ponto realmente satisfaz a equação. A inclinação da reta é 1, igual à da reta de referência, portanto as retas são paralelas. Você mandou bem em acompanhar até aqui — já está quase lá!

Resposta

y = x - 6

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