Determine a equação da reta que intercepta o eixo y em -3 e é perpendicular à reta y = 2x - 5.

Passo 1

O que o problema dá e o que pede:\n
  • Dado: a reta y=2x-5.\n
  • Dado: a reta procurada intercepta o eixo y em -3 (ou seja, seu coeficiente linear é -3).\n
  • Pedido: determinar a equação da reta que satisfaz essas duas condições (é perpendicular à reta dada e tem intercepto em -3).

Passo 2

Entendendo como ler uma equação de reta no formato mais comum:\n
  • A forma conhecida como “inclinação-intercepto” é \;y=mx+b\;, onde \;m\; é a inclinação (ou coeficiente angular) e \;b\; é o intercepto no eixo y (valor de y quando x=0).\n
  • Na reta dada \;y=2x-5\; podemos identificar diretamente que a inclinação é \;m_1=2\; e o intercepto é \;b_1=-5\;. Aqui eu peguei esses valores da própria equação dada.

Passo 3

Regra para retas perpendiculares (a parte mais importante para a prova):\n
  • Se duas retas têm inclinações \;m_1\; e \;m_2\; e são perpendiculares, então vale \;m_1\cdot m_2 = -1\;. Em palavras: a inclinação da reta perpendicular é o negativo do recíproco da inclinação da outra reta (chamamos isso de “recíproco negativo”).\n
  • Aplicando ao nosso caso, como \;m_1=2\;, a inclinação desejada é
m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{2}.

Passo 4

Formando a equação da reta com a inclinação encontrada e o intercepto dado:\n
  • Como queremos uma reta com inclinação \;m_2=-\frac{1}{2}\; e intercepto no y igual a -3, usamos a forma \;y=mx+b\; e substituímos \;m=m_2\; e \;b=-3\;.\n
  • Substituindo obtemos a forma com fração (evitando arredondamento):
y = -\frac{1}{2}x - 3.
  • Se preferir eliminar a fração e escrever na forma geral, multiplicamos ambos os lados por 2:
2y = -x - 6,
que rearranjando para o lado esquerdo dá
x + 2y + 6 = 0.

Passo 5

Verificações rápidas (para ter certeza e ganhar confiança):\n
  • Produto das inclinações: 2 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right) = -1, logo são perpendiculares — OK.\n
  • Intercepto no y: colocando x=0 em \;y=-\tfrac{1}{2}x-3\; obtém-se y=-3 — intercepto correto.\n
    Pronto — equação encontrada e verificada!

Resposta

y=-\frac{1}{2}x-3\n
x+2y+6=0

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