1. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2,3) e é paralela ao vetor diretor (4,-2,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma reta em R^3 que passa pelo ponto (1,2,3) e é paralela ao vetor diretor (4,-2,1). O conteúdo aqui é a forma vetorial, paramétrica e simétrica de uma reta no espaço.

Passo 2

Para obter a forma vetorial e paramétrica, usamos que toda reta que passa pelo ponto r0=(1,2,3) e tem vetor diretor v=(4,-2,1) é dada por
r(t)=r0 + t,v
Portanto,
r(t) = 123 + t4-21
que em coordenadas se escreve
x = 1 + 4t, y = 2 - 2t, z = 3 + t

Passo 3

Para a forma simétrica, isolamos t em cada equação paramétrica:
t = x-14, t = y-2-2, t = z-31
Logo,
x-14 ;=;y-2-2;=;z-31

Resposta

A reta em forma vetorial é
r(t) = 123 + t4-21,
em forma paramétrica
x = 1 + 4t, y = 2 - 2t, z = 3 + t,
e em forma simétrica
x-14 = y-2-2 = z-31

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