Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,-2,3) e é paralela ao vetor nu=2 i-4 j+5 k.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta no espaço que passa pelo ponto (1,-2,3) e é paralela ao vetor nu = 2,i - 4,j + 5,k. Esse conteúdo faz parte da geometria analítica de retas no espaço e precisaremos usar a forma vetorial de uma reta, que relaciona um ponto de apoio e um vetor diretriz.

Passo 2

Na geometria analítica, a reta que passa pelo ponto de posição r0 e tem vetor diretriz v é dada pela equação vetorial
r(t) = r0 + t,v
Aqui o parâmetro t varia em R.

Passo 3

Identificando r0 = (1,-2,3) e v = (2,-4,5), substituímos na forma vetorial:
r(t) = (1,-2,3) + t,(2,-4,5)
Isso já é a equação vetorial da reta.

Passo 4

Para obter a forma paramétrica, basta separar as componentes de r(t). Assim:
x = 1 + 2t, y = -2 - 4t, z = 3 + 5t

Passo 5

Se quisermos a forma simétrica, isolamos t em cada equação e igualamos:
x - 12 = y + 2-4 = z - 35

Resposta

A equação vetorial da reta é
r(t) = (1,-2,3) + t,(2,-4,5)
Na forma paramétrica:
x = 1 + 2t, y = -2 - 4t, z = 3 + 5t
Na forma simétrica:
x - 12 = y + 2-4 = z - 35

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