Encontre o conjunto solução das seguintes desigualdades.
(2 x+1)^8(x+1) <= 0

Passo 1

Temos a desigualdade (2x+1)^8(x+1) <= 0. O conteúdo envolvido é análise de sinais de um produto de fatores e vamos usar propriedades de potências e o critério de sinais.

Passo 2

Precisamos achar as raízes de cada fator para identificar onde o produto pode ser zero: da potência (2x+1)^8 vem 2x+1=0Rightarrow x=-tfrac12 e do fator x+1 vem x+1=0Rightarrow x=-1.

Passo 3

Como (2x+1)^8 é uma potência par, ela é sempre não negativa. Ou seja, (2x+1)^8>0 para todo xneq -tfrac12 e igual a zero apenas em x=-tfrac12.
Para xneq -tfrac12 o sinal do produto (2x+1)^8(x+1) é o mesmo do fator x+1. Queremos (2x+1)^8(x+1)<=0, então precisamos de x+1<=0, o que dá x<=-1.

Passo 4

Não podemos esquecer de incluir também os pontos onde o produto fica exatamente zero: isso ocorre em x=-1 (já incluído em x<=-1) e em x=-tfrac12.

Resposta

(-infty,-1]cup-tfrac12

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