Calcule o comprimento das curvas dadas pelas seguintes funções vetoriais:
Catenária: mathbfr(t)=t i+cosh t j de t=0 a t=1.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva vetorial r(t)=t,i+cosh t,j para t de 0 a 1. O conteúdo aqui é comprimento de curva no plano e vamos usar a fórmula
S=integrala^b |r'(t)|,dt
para resolver.

Passo 2

Primeiro, calculamos a derivada do vetor:
r'(t)=ddtl(t,cosh tr)=(1,sinh t)=i+sinh t,j
A norma dessa derivada é
|r'(t)|=raiz1+l(sinh tr)^2
Usamos a identidade cosh^2t-sinh^2t=1, de modo que
raiz1+sinh^2t=raizcosh^2t=cosh t
pois cosh t>=0.

Passo 3

Substituindo na fórmula de comprimento, temos
S=integral0^1 cosh t,dt

Passo 4

A antiderivada de cosh t é sinh t. Então
S=sinh t|0^1=sinh(1)-sinh(0)=sinh(1)-0=sinh(1)

Resposta

sinh(1)

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