Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e é a reta de Nagel do triângulo de vértices
,
e
.
Passo 1
O enunciado dá um triângulo com vértices
,
e
e pede a equação da reta que (i) passa pelo ponto
e (ii) é a reta de Nagel do triângulo.
Informações relevantes: os vértices do triângulo são e temos o ponto
. A reta procurada deve passar por
e ser a reta de Nagel (isto é, a reta que liga o centro circunscrito ao ponto de Nagel do triângulo).
Informações relevantes: os vértices do triângulo são
Passo 2
Primeiro identificamos o papel do ponto
. Observe os vetores que partem de
para os outros vértices:
e
. O produto escalar
logo os lados que saem de
são perpendiculares; o triângulo é retângulo em
. Em um triângulo retângulo o centro da circunferência circunscrita é o ponto médio da hipotenusa. A hipotenusa é o segmento entre
e
, cujo ponto médio é
Assim
é o centro circunscrito (circumcenter) do triângulo — confirma que o ponto dado é o centro circunscrito.
Passo 3
Agora precisamos do ponto de Nagel
do triângulo. Vou explicar como calcular: o ponto de Nagel tem coordenadas baricêntricas proporcionais a
, onde
são os comprimentos dos lados opostos aos vértices e
é o semiperímetro
. Vou rotular os vértices como
Então os comprimentos dos lados são
O semiperímetro é
Passo 4
Calculamos agora
:
Assim as coordenadas baricêntricas do ponto de Nagel são
.
Passo 5
Convertendo baricêntricas para coordenadas cartesianas usamos a fórmula
com
e
. O denominador
é
Então
Agora simplificamos algebricamente: multiplicando numerador e denominador pelo conjugado
obtemos
Desenvolvendo e simplificando (ou fazendo a conta direta) chega-se à forma fechada
Portanto
Passo 6
A reta de Nagel é a reta que liga o circumcenter (que já identificámos como
) ao ponto de Nagel
. Calculamos o coeficiente angular
da reta
:
Essa expressão simplifica: observe que
o que pode ser verificado multiplicando cruzado (ou fazendo a simplificação algébrica). Assim o coeficiente angular é
Passo 7
Usando a forma-ponto da equação da reta com ponto
e coeficiente
obtemos
Podemos rearranjar para uma forma sem denominador:
Expandindo e passando todos os termos para um lado:
Esta é a equação da reta de Nagel que passa por
.