Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é a reta de Nagel do triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,4).

Passo 1

O enunciado dá um triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (0,4) e pede a equação da reta que (i) passa pelo ponto (1,2) e (ii) é a reta de Nagel do triângulo.
Informações relevantes: os vértices do triângulo são (0,0), (2,0), (0,4) e temos o ponto (1,2). A reta procurada deve passar por (1,2) e ser a reta de Nagel (isto é, a reta que liga o centro circunscrito ao ponto de Nagel do triângulo).

Passo 2

Primeiro identificamos o papel do ponto (1,2). Observe os vetores que partem de (0,0) para os outros vértices: (2,0) e (0,4). O produto escalar
(2,0)\cdot(0,4)=2\cdot0+0\cdot4=0,
logo os lados que saem de (0,0) são perpendiculares; o triângulo é retângulo em (0,0). Em um triângulo retângulo o centro da circunferência circunscrita é o ponto médio da hipotenusa. A hipotenusa é o segmento entre (2,0) e (0,4), cujo ponto médio é
\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+4}{2}\right)=(1,2).
Assim (1,2) é o centro circunscrito (circumcenter) do triângulo — confirma que o ponto dado é o centro circunscrito.

Passo 3

Agora precisamos do ponto de Nagel N do triângulo. Vou explicar como calcular: o ponto de Nagel tem coordenadas baricêntricas proporcionais a (s-a:s-b:s-c), onde a,b,c são os comprimentos dos lados opostos aos vértices e s é o semiperímetro s=(a+b+c)/2. Vou rotular os vértices como
A=(0,0),\quad B=(2,0),\quad C=(0,4).
Então os comprimentos dos lados são
a=|BC|=\sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=2\sqrt5,
b=|CA|=\sqrt{(0-0)^2+(4-0)^2}=4,
c=|AB|=\sqrt{(2-0)^2+(0-0)^2}=2.
O semiperímetro é
s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{2\sqrt5+4+2}{2}=3+\sqrt5.

Passo 4

Calculamos agora s-a,s-b,s-c:
s-a=(3+\sqrt5)-2\sqrt5=3-\sqrt5,
s-b=(3+\sqrt5)-4=\sqrt5-1,
s-c=(3+\sqrt5)-2=1+\sqrt5.
Assim as coordenadas baricêntricas do ponto de Nagel são (3-\sqrt5:\;\sqrt5-1:\;1+\sqrt5).

Passo 5

Convertendo baricêntricas para coordenadas cartesianas usamos a fórmula
N=\left(\frac{\alpha x_A+\beta x_B+\gamma x_C}{\alpha+\beta+\gamma},\;\frac{\alpha y_A+\beta y_B+\gamma y_C}{\alpha+\beta+\gamma}\right)
com \alpha=3-\sqrt5,\;\beta=\sqrt5-1,\;\gamma=1+\sqrt5 e x_A=0,y_A=0,\;x_B=2,y_B=0,\;x_C=0,y_C=4. O denominador \alpha+\beta+\gamma é
(3-\sqrt5)+(\sqrt5-1)+(1+\sqrt5)=3+\sqrt5.
Então
x_N=\frac{2\beta}{3+\sqrt5}=\frac{2(\sqrt5-1)}{3+\sqrt5},\qquad y_N=\frac{4\gamma}{3+\sqrt5}=\frac{4(1+\sqrt5)}{3+\sqrt5}.
Agora simplificamos algebricamente: multiplicando numerador e denominador pelo conjugado 3-\sqrt5 obtemos
x_N=2(\sqrt5-1)\frac{3-\sqrt5}{(3+\sqrt5)(3-\sqrt5)}=2(\sqrt5-1)\frac{3-\sqrt5}{9-5}=2(\sqrt5-1)\frac{3-\sqrt5}{4}.
Desenvolvendo e simplificando (ou fazendo a conta direta) chega-se à forma fechada
x_N=2\sqrt5-4,
y_N=2(\sqrt5-1).
Portanto
N=\bigl(2\sqrt5-4,\;2(\sqrt5-1)\bigr).

Passo 6

A reta de Nagel é a reta que liga o circumcenter (que já identificámos como O=(1,2)) ao ponto de Nagel N. Calculamos o coeficiente angular m da reta ON:
m=\frac{y_N-2}{x_N-1}=\frac{2(\sqrt5-1)-2}{2\sqrt5-4-1}=\frac{2\sqrt5-4}{2\sqrt5-5}.
Essa expressão simplifica: observe que
\frac{2\sqrt5-4}{2\sqrt5-5}=-\frac{2}{\sqrt5},
o que pode ser verificado multiplicando cruzado (ou fazendo a simplificação algébrica). Assim o coeficiente angular é
m=-\frac{2}{\sqrt5}.

Passo 7

Usando a forma-ponto da equação da reta com ponto O=(1,2) e coeficiente m obtemos
y-2=-\frac{2}{\sqrt5}(x-1).
Podemos rearranjar para uma forma sem denominador:
\sqrt5(y-2)=-2(x-1).
Expandindo e passando todos os termos para um lado:
2x+\sqrt5\,y-(2+2\sqrt5)=0.
Esta é a equação da reta de Nagel que passa por (1,2).

Resposta

2x+\sqrt5\,y-(2+2\sqrt5)=0

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