Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é a reta de Feuerbach do triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,4).

Passo 1

O enunciado pede: "Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é a reta de Feuerbach do triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,4)".\n
Informações dadas e observações imediatas:
  • Os vértices do triângulo são A=(0,0), B=(2,0) e C=(0,4).
  • O ponto dado é P=(1,2).
  • O ponto P=(1,2) é o ponto pelo qual a reta procurada passa (não precisamos pedir nada mais).
  • A reta de Feuerbach passa pelo ponto de tangência entre a circunferência dos nove pontos (circunferência de Euler) e a incírculo (Feuerbach), portanto ela é a reta que contém esse ponto de tangência. Para encontrar essa reta, vamos localizar o ponto de tangência (o ponto de Feuerbach) e então escrever a equação da reta que passa por ele e por (1,2).

Passo 2

Identificar pontos centrais do triângulo que vamos usar (com explicação didática):\n
  • O triângulo tem ângulo reto em A=(0,0) porque os vetores AB=(2,0) e AC=(0,4) são perpendiculares. Num triângulo retângulo, o circuncentro O (centro da circunferência circunscrita) é o ponto médio da hipotenusa. Aqui a hipotenusa é o segmento BC, cujo ponto médio é
O=\bigl(\tfrac{2+0}{2},\tfrac{0+4}{2}\bigr)=(1,2).
Isto confirma que o ponto dado (1,2) é o circuncentro O. (Ótimo — o enunciado nos deu o circuncentro sem dizer.)

Passo 3

Vamos achar o ortocentro H e o centro da circunferência dos nove pontos N:\n
  • Em qualquer triângulo retângulo o ortocentro é o vértice do ângulo reto. Assim
H=A=(0,0).
  • O centro da circunferência dos nove pontos N é o ponto médio entre o circuncentro O e o ortocentro H. Então
N=\frac{O+H}{2}=\left(\frac{1+0}{2},\frac{2+0}{2}\right)=\left(\tfrac{1}{2},1\right).

Passo 4

Encontrar o incentro I (centro da incírculo) com explicação da fórmula:\n
  • O incentro de um triângulo cujas coordenadas dos vértices são (x_A,y_A),(x_B,y_B),(x_C,y_C) pode ser obtido por média ponderada pelos comprimentos dos lados opostos:
I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c},
onde a=|BC|, b=|CA|, c=|AB| (lado oposto ao vértice nomeado). Isso vem da propriedade de que o incentro é intersecção das bissetrizes internas e que as bissetrizes dividem os lados em proporção aos comprimentos adjacentes.\n
  • Calculemos os comprimentos:
a=|BC|=\sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5},
b=|CA|=\sqrt{(0-0)^2+(4-0)^2}=4,\qquad c=|AB|=\sqrt{(2-0)^2+(0-0)^2}=2.
  • Soma S=a+b+c=2\sqrt{5}+4+2=6+2\sqrt{5}.
  • Agora a coordenada x de I (e, por simetria do nosso triângulo, a coordenada y também) é
I_x=\frac{a\cdot 0 + b\cdot 2 + c\cdot 0}{S}=\frac{8}{6+2\sqrt{5}}.
  • Simplificando \dfrac{8}{6+2\sqrt{5}}: dividir numerador e denominador por 2 \dfrac{4}{3+\sqrt{5}}. Racionalizando multiplicando por 3-\sqrt{5} obtemos
\frac{4}{3+\sqrt{5}}=\frac{4(3-\sqrt{5})}{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})}=\frac{4(3-\sqrt{5})}{9-5}=\frac{4(3-\sqrt{5})}{4}=3-\sqrt{5}.
  • Portanto
I=(3-\sqrt{5},\,3-\sqrt{5}).

Passo 5

Determinar os raios relevantes (circunferência dos nove pontos e incírculo) e a posição relativa para localizar o ponto de tangência:\n
  • O raio da circunferência circunscrita (circunferência que passa por A,B,C) é R. Num triângulo retângulo R é metade da hipotenusa; a hipotenusa tem comprimento a=2\sqrt{5}, logo
R=\frac{a}{2}=\sqrt{5}.
  • O raio da circunferência dos nove pontos é r_9=\dfrac{R}{2}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}.
  • O raio da incírculo (inradius) é dado por r_{\text{in}}=\dfrac{\text{área}}{s}á, onde s é o semiperímetro. A área do triângulo retângulo é \tfrac{1}{2}\cdot 2\cdot 4=4. O semiperímetro é s=\dfrac{a+b+c}{2}=3+\sqrt{5}. Então
r_{\text{in}}=\frac{4}{3+\sqrt{5}}.
Racionalizando exatamente como antes (mesma expressão que para as coordenadas do incentro), obtemos
r_{\text{in}}=3-\sqrt{5}.
  • Observação importante (usada pelo teorema de Feuerbach): a circunferência dos nove pontos e a incírculo são tangentes. Aqui r_9>r_{\text{in}} e a tangência é interna; portanto a distância entre os centros N e I satisfaz
|NI|=r_9-r_{\text{in}}.
Isto também permite localizar geometricamente o ponto de tangência F (ponto de Feuerbach): F está sobre a reta que une N a I, e na direção de I continuando além de I (pois a incírculo está contida na circunferência dos nove pontos).

Passo 6

Calcular o ponto de tangência F (ponto de Feuerbach) explicitamente por razão ao longo do segmento NI:\n
  • Escrevemos o vetor I-N:
I-N=\Bigl(3-\sqrt{5}-\tfrac{1}{2},\;3-\sqrt{5}-1\Bigr)=\Bigl(\tfrac{5-2\sqrt{5}}{2},\;2-\sqrt{5}\Bigr).
  • Se definirmos um escalar \alpha tal que
F=N+\alpha(I-N),
então queremos \alpha tal que a distância NF seja r_9. Mas como NI=r_9-r_{\text{in}}, e I está entre N e F, temos
\alpha=\frac{r_9}{|I-N|}=\frac{r_9}{r_9-r_{\text{in}}}.
  • Substituindo r_9=\dfrac{\sqrt{5}}{2} e r_{\text{in}}=3-\sqrt{5},
\alpha=\frac{\sqrt{5}/2}{\sqrt{5}/2-(3-\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{5}}{3(\sqrt{5}-2)}.
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por \sqrt{5}+2) obtém-se uma forma muito simples:
\alpha=\frac{5+2\sqrt{5}}{3}.

Passo 7

Fazer a multiplicação vetorial e achar F com álgebra exata (mostrando as simplificações):\n
  • Calculemos \alpha(I-N). Para a componente x:
\alpha\cdot\frac{5-2\sqrt{5}}{2}=\frac{5+2\sqrt{5}}{3}\cdot\frac{5-2\sqrt{5}}{2} =\frac{(5+2\sqrt{5})(5-2\sqrt{5})}{6}.
Multiplicando os dois binômios vimos que os termos mistos se cancelam:
(5+2\sqrt{5})(5-2\sqrt{5})=25-(2\sqrt{5})^2=25-20=5.
Portanto a componente x vale
\frac{5}{6}.
  • Para a componente y:
\alpha(2-\sqrt{5})=\frac{5+2\sqrt{5}}{3}(2-\sqrt{5}) =\frac{10-5\sqrt{5}+4\sqrt{5}-10}{3}=-\frac{\sqrt{5}}{3}.
  • Então
\alpha(I-N)=\Bigl(\tfrac{5}{6},\;-\tfrac{\sqrt{5}}{3}\Bigr).
  • Adicionando N=(\tfrac{1}{2},1) obtemos F:
F=N+\alpha(I-N)=\left(\tfrac{1}{2}+\tfrac{5}{6},\;1-\tfrac{\sqrt{5}}{3}\right) =\left(\tfrac{4}{3},\;1-\tfrac{\sqrt{5}}{3}\right).

Passo 8

Agora temos o ponto de Feuerbach F e o circuncentro O=(1,2). Basta a equação da reta que passa por esses dois pontos. Calculemos o coeficiente angular (declive) e a equação:\n
  • O coeficiente angular m é
m=\frac{y_F-y_O}{x_F-x_O} =\frac{\bigl(1-\tfrac{\sqrt{5}}{3}\bigr)-2}{\tfrac{4}{3}-1} =\frac{-1-\tfrac{\sqrt{5}}{3}}{\tfrac{1}{3}}.
  • Multiplicando por 3:
m=-3-\sqrt{5}.
  • Usando a forma ponto-declive com o ponto O=(1,2):
y-2=m(x-1),
substituindo m:
y-2=-(3+\sqrt{5})(x-1).
  • Desenvolvendo para uma forma line ar explícita (opcional):
y=-(3+\sqrt{5})x+(3+\sqrt{5})+2=-(3+\sqrt{5})x+(5+\sqrt{5}).

Resposta

y=-(3+\sqrt{5})x+(5+\sqrt{5})

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