Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e é a reta de Feuerbach do triângulo de vértices
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede: "Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e é a reta de Feuerbach do triângulo de vértices
,
e
".\n
Informações dadas e observações imediatas:
Informações dadas e observações imediatas:
- Os vértices do triângulo são
, e . - O ponto dado é
. - O ponto
é o ponto pelo qual a reta procurada passa (não precisamos pedir nada mais). - A reta de Feuerbach passa pelo ponto de tangência entre a circunferência dos nove pontos (circunferência de Euler) e a incírculo (Feuerbach), portanto ela é a reta que contém esse ponto de tangência. Para encontrar essa reta, vamos localizar o ponto de tangência (o ponto de Feuerbach) e então escrever a equação da reta que passa por ele e por
.
Passo 2
Identificar pontos centrais do triângulo que vamos usar (com explicação didática):\n
- O triângulo tem ângulo reto em
porque os vetores e são perpendiculares. Num triângulo retângulo, o circuncentro (centro da circunferência circunscrita) é o ponto médio da hipotenusa. Aqui a hipotenusa é o segmento , cujo ponto médio é
Isto confirma que o ponto dado
é o circuncentro
. (Ótimo — o enunciado nos deu o circuncentro sem dizer.)
Passo 3
Vamos achar o ortocentro
e o centro da circunferência dos nove pontos
:\n
- Em qualquer triângulo retângulo o ortocentro é o vértice do ângulo reto. Assim
- O centro da circunferência dos nove pontos
é o ponto médio entre o circuncentro e o ortocentro . Então
Passo 4
Encontrar o incentro
(centro da incírculo) com explicação da fórmula:\n
- O incentro de um triângulo cujas coordenadas dos vértices são
pode ser obtido por média ponderada pelos comprimentos dos lados opostos:
onde
,
,
(lado oposto ao vértice nomeado). Isso vem da propriedade de que o incentro é intersecção das bissetrizes internas e que as bissetrizes dividem os lados em proporção aos comprimentos adjacentes.\n
- Calculemos os comprimentos:
- Soma
. - Agora a coordenada
de (e, por simetria do nosso triângulo, a coordenada também) é
- Simplificando
: dividir numerador e denominador por dá . Racionalizando multiplicando por obtemos
- Portanto
Passo 5
Determinar os raios relevantes (circunferência dos nove pontos e incírculo) e a posição relativa para localizar o ponto de tangência:\n
- O raio da circunferência circunscrita (circunferência que passa por
) é . Num triângulo retângulo é metade da hipotenusa; a hipotenusa tem comprimento , logo
- O raio da circunferência dos nove pontos é
- O raio da incírculo (inradius) é dado por
, onde é o semiperímetro. A área do triângulo retângulo é . O semiperímetro é . Então
Racionalizando exatamente como antes (mesma expressão que para as coordenadas do incentro), obtemos
- Observação importante (usada pelo teorema de Feuerbach): a circunferência dos nove pontos e a incírculo são tangentes. Aqui
e a tangência é interna; portanto a distância entre os centros e satisfaz
Isto também permite localizar geometricamente o ponto de tangência
(ponto de Feuerbach):
está sobre a reta que une
a
, e na direção de
continuando além de
(pois a incírculo está contida na circunferência dos nove pontos).
Passo 6
Calcular o ponto de tangência
(ponto de Feuerbach) explicitamente por razão ao longo do segmento
:\n
- Escrevemos o vetor
:
- Se definirmos um escalar
tal que
então queremos
tal que a distância
seja
. Mas como
, e
está entre
e
, temos
- Substituindo
e ,
Racionalizando (multiplicando numerador e denominador por
) obtém-se uma forma muito simples:
Passo 7
Fazer a multiplicação vetorial e achar
com álgebra exata (mostrando as simplificações):\n
- Calculemos
. Para a componente :
Multiplicando os dois binômios vimos que os termos mistos se cancelam:
Portanto a componente
vale
- Para a componente
:
- Então
- Adicionando
obtemos :
Passo 8
Agora temos o ponto de Feuerbach
e o circuncentro
. Basta a equação da reta que passa por esses dois pontos. Calculemos o coeficiente angular (declive) e a equação:\n
- O coeficiente angular
é
- Multiplicando por
:
- Usando a forma ponto-declive com o ponto
:
substituindo
:
- Desenvolvendo para uma forma line ar explícita (opcional):