Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é a reta de Lemoine do triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,4).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e que é a reta de Lemoine do triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,4).
Informações dadas:
  • Vértices do triângulo: A=(0,0), B=(2,0), C=(0,4).
  • Um ponto fornecido que a reta deve passar: P=(1,2).
  • A reta procurada é a “reta de Lemoine” do triângulo (ou seja, a reta que passa pelo centro de Lemoine/symmedian point e pelo centro relativo apropriado). Não resolvemos nada ainda — apenas listamos os dados e o que se pede.

Passo 2

Primeiro reconhecemos uma propriedade geométrica útil do triângulo: ele é retângulo em A. Vou mostrar isso de forma direta usando produto escalar entre os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
  • \overrightarrow{AB} = (2,0)-(0,0) = (2,0).
  • \overrightarrow{AC} = (0,4)-(0,0) = (0,4).
  • O produto escalar é \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\cdot0 + 0\cdot4 = 0.
Como o produto escalar é zero, o ângulo em A é reto. Em um triângulo retângulo, o circuncentro (centro da circunferência circunscrita) é o ponto médio da hipotenusa BC. Vamos calcular esse ponto médio:
  • Coordenadas de B e C: B=(2,0), C=(0,4).
  • Ponto médio O de BC:
O=\left(\frac{2+0}{2},\frac{0+4}{2}\right)=\left(1,2\right).
Portanto o ponto P=(1,2) dado no enunciado é exatamente o circuncentro O do triângulo. Isso é importante porque a reta de Lemoine (linha que vamos determinar) passa por esse ponto em conjunto com o ponto de Lemoine (centro de symmedian) do triângulo.

Passo 3

Agora vamos explicar o que é o ponto de Lemoine (também chamado de ponto simediano) e como encontrá‑lo de modo prático para usar na equação da reta.
  • Para um triângulo com vértices A,B,C, denote por:
    • a = |BC| (comprimento do lado oposto a A),
    • b = |CA| (comprimento do lado oposto a B),
    • c = |AB| (comprimento do lado oposto a C).
  • O ponto de Lemoine K tem coordenadas barycêntricas proporcionais a (a^2:b^2:c^2). Uma forma prática de converter isso para coordenadas cartesianas é a média ponderada dos vértices com pesos a^2,b^2,c^2:
K=\frac{a^2 A + b^2 B + c^2 C}{a^2+b^2+c^2},
onde a operação significa aplicar as somas coordenada a coordenada.
Vou calcular a^2,b^2,c^2 para o nosso triângulo.
  • a = |BC| = \sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}, então a^2=20.
  • b = |CA| = \sqrt{(0-0)^2+(4-0)^2}=4, então b^2=16.
  • c = |AB| = \sqrt{(2-0)^2+(0-0)^2}=2, então c^2=4.
Somatório: a^2+b^2+c^2 = 20+16+4 = 40.

Passo 4

Aplicamos agora a fórmula ponderada para achar K. Lembre que A=(0,0), B=(2,0), C=(0,4). Usamos os pesos 20,16,4:
  • Coordenada x de K:
K_x = \frac{20\cdot 0 + 16\cdot 2 + 4\cdot 0}{40} = \frac{32}{40} = \frac{4}{5} = 0,8.
  • Coordenada y de K:
K_y = \frac{20\cdot 0 + 16\cdot 0 + 4\cdot 4}{40} = \frac{16}{40} = \frac{2}{5} = 0,4.
Portanto o ponto de Lemoine (simediano) do triângulo é
K=\left(\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right).
(Dica rápida: você poderia também obter K como interseção das três simedianas, mas a fórmula com pesos a^2,b^2,c^2 é a maneira mais direta para cálculo de coordenadas.)

Passo 5

A reta procurada passa por O=(1,2) (o circuncentro, que era o ponto dado) e por K=\left(\tfrac{4}{5},\tfrac{2}{5}\right) (o ponto de Lemoine). Vamos então achar a equação da reta que une esses dois pontos.
  • Primeiro a inclinação (coeficiente angular) m:
m=\frac{K_y - O_y}{K_x - O_x}=\frac{\tfrac{2}{5}-2}{\tfrac{4}{5}-1}=\frac{\tfrac{2-10}{5}}{\tfrac{4-5}{5}}=\frac{\tfrac{-8}{5}}{\tfrac{-1}{5}}=\frac{-8}{5}\cdot\frac{5}{-1}=8.
  • Usando a forma ponto‑inclinação com o ponto O=(1,2):
y-2 = 8(x-1).
Desenvolvendo:
y-2 = 8x-8 \quad\Rightarrow\quad y=8x-6.
Em forma integrada padrão, pode ser escrita como -8x+y+6=0 ou 8x-y-6=0. Eu deixarei na forma explicita de y por ser mais direta.

Passo 6

Checagem rápida: verifique se tanto O=(1,2) quanto K=(4/5,2/5) satisfazem y=8x-6.
  • Para O: y=2 e 8x-6=8\cdot1-6=2 OK.
  • Para K: y=\tfrac{2}{5} e 8x-6=8\cdot\tfrac{4}{5}-6=\tfrac{32}{5}-6=\tfrac{32-30}{5}=\tfrac{2}{5} OK.
Tudo consistente.

Resposta

y=8x-6

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