Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é a reta de Lemoine do triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,4).
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e que é a reta de Lemoine do triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (0,4).
Informações dadas:
Vértices do triângulo: A=(0,0), B=(2,0), C=(0,4).
Um ponto fornecido que a reta deve passar: P=(1,2).
A reta procurada é a “reta de Lemoine” do triângulo (ou seja, a reta que passa pelo centro de Lemoine/symmedian point e pelo centro relativo apropriado). Não resolvemos nada ainda — apenas listamos os dados e o que se pede.
Passo 2
Primeiro reconhecemos uma propriedade geométrica útil do triângulo: ele é retângulo em A. Vou mostrar isso de forma direta usando produto escalar entre os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}.
\overrightarrow{AB} = (2,0)-(0,0) = (2,0).
\overrightarrow{AC} = (0,4)-(0,0) = (0,4).
O produto escalar é \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\cdot0 + 0\cdot4 = 0.
Como o produto escalar é zero, o ângulo em A é reto. Em um triângulo retângulo, o circuncentro (centro da circunferência circunscrita) é o ponto médio da hipotenusa BC. Vamos calcular esse ponto médio:
Portanto o ponto P=(1,2) dado no enunciado é exatamente o circuncentro O do triângulo. Isso é importante porque a reta de Lemoine (linha que vamos determinar) passa por esse ponto em conjunto com o ponto de Lemoine (centro de symmedian) do triângulo.
Passo 3
Agora vamos explicar o que é o ponto de Lemoine (também chamado de ponto simediano) e como encontrá‑lo de modo prático para usar na equação da reta.
Para um triângulo com vértices A,B,C, denote por:
a = |BC| (comprimento do lado oposto a A),
b = |CA| (comprimento do lado oposto a B),
c = |AB| (comprimento do lado oposto a C).
O ponto de Lemoine K tem coordenadas barycêntricas proporcionais a (a^2:b^2:c^2). Uma forma prática de converter isso para coordenadas cartesianas é a média ponderada dos vértices com pesos a^2,b^2,c^2:
K=\frac{a^2 A + b^2 B + c^2 C}{a^2+b^2+c^2},
onde a operação significa aplicar as somas coordenada a coordenada.
Vou calcular a^2,b^2,c^2 para o nosso triângulo.
a = |BC| = \sqrt{(2-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}, então a^2=20.
b = |CA| = \sqrt{(0-0)^2+(4-0)^2}=4, então b^2=16.
c = |AB| = \sqrt{(2-0)^2+(0-0)^2}=2, então c^2=4.
Somatório: a^2+b^2+c^2 = 20+16+4 = 40.
Passo 4
Aplicamos agora a fórmula ponderada para achar K. Lembre que A=(0,0), B=(2,0), C=(0,4). Usamos os pesos 20,16,4:
Portanto o ponto de Lemoine (simediano) do triângulo é
K=\left(\frac{4}{5},\frac{2}{5}\right).
(Dica rápida: você poderia também obter K como interseção das três simedianas, mas a fórmula com pesos a^2,b^2,c^2 é a maneira mais direta para cálculo de coordenadas.)
Passo 5
A reta procurada passa por O=(1,2) (o circuncentro, que era o ponto dado) e por K=\left(\tfrac{4}{5},\tfrac{2}{5}\right) (o ponto de Lemoine). Vamos então achar a equação da reta que une esses dois pontos.