Determine a equação da reta que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
Passo 1
O enunciado dá o ponto
e a reta
. A pergunta é: determinar a equação da reta que passa por
e é perpendicular à reta dada. Informações relevantes: o coeficiente
multiplica
, o coeficiente
multiplica
na reta dada, e o ponto pelo qual a nova reta deve passar é
.
Passo 2
Precisamos do coeficiente angular (inclinação) da reta dada para achar a inclinação da reta perpendicular. Vamos escrever a reta
na forma
(forma “declive-intercepto”), onde
é o coeficiente angular. Isolando
:
Portanto o coeficiente angular da reta dada é
.
Passo 3
Regra para retas perpendiculares: se uma reta tem coeficiente angular
, então qualquer reta perpendicular a ela tem coeficiente angular
tal que
Isso significa que
é o negativo do recíproco de
. Aplicando ao nosso caso:
Logo a reta procurada tem coeficiente angular
.
Passo 4
Agora usamos a forma ponto-declive (point-slope) da equação de reta: para uma reta com coeficiente angular
que passa por
,
Substituindo
e
, obtemos
Passo 5
Transformamos a equação acima em forma
(mais fácil de interpretar na prova). Desenvolvendo:
Somando
em ambos os lados:
Verificação rápida: para
obtemos
, que confirma que o ponto dado está na reta.
Passo 6
Se preferir a forma geral (padrão)
, multiplicamos por
para eliminar denominadores e rearranjamos: