Determine a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e é perpendicular à reta 2x+3y=4

Passo 1

O enunciado dá o ponto (1,2) e a reta \;2x+3y=4\;. A pergunta é: determinar a equação da reta que passa por (1,2) e é perpendicular à reta dada. Informações relevantes: o coeficiente 2 multiplica x, o coeficiente 3 multiplica y na reta dada, e o ponto pelo qual a nova reta deve passar é (1,2).

Passo 2

Precisamos do coeficiente angular (inclinação) da reta dada para achar a inclinação da reta perpendicular. Vamos escrever a reta \;2x+3y=4\; na forma y=mx+b (forma “declive-intercepto”), onde m é o coeficiente angular. Isolando y:
3y = -2x + 4
y = -\frac{2}{3}x + \frac{4}{3}
Portanto o coeficiente angular da reta dada é \;m_1 = -\frac{2}{3}.

Passo 3

Regra para retas perpendiculares: se uma reta tem coeficiente angular \;m_1\;, então qualquer reta perpendicular a ela tem coeficiente angular \;m_2\; tal que
m_1 \cdot m_2 = -1.
Isso significa que \;m_2\; é o negativo do recíproco de \;m_1\;. Aplicando ao nosso caso:
m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{-\tfrac{2}{3}} = \frac{3}{2}.
Logo a reta procurada tem coeficiente angular \;m=\frac{3}{2}.

Passo 4

Agora usamos a forma ponto-declive (point-slope) da equação de reta: para uma reta com coeficiente angular \;m\; que passa por (x_0,y_0),
y-y_0 = m(x-x_0).
Substituindo m=\frac{3}{2} e (x_0,y_0)=(1,2), obtemos
y-2 = \frac{3}{2}(x-1).

Passo 5

Transformamos a equação acima em forma y=mx+b (mais fácil de interpretar na prova). Desenvolvendo:
y-2 = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2}
Somando 2 em ambos os lados:
y = \frac{3}{2}x - \frac{3}{2} + 2 = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2}.
Verificação rápida: para x=1 obtemos y=\tfrac{3}{2}\cdot1+\tfrac{1}{2}=2, que confirma que o ponto dado está na reta.

Passo 6

Se preferir a forma geral (padrão) Ax+By+C=0, multiplicamos por 2 para eliminar denominadores e rearranjamos:
y = \frac{3}{2}x + \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad 2y = 3x + 1
3x - 2y + 1 = 0.

Resposta

y = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2}
3x - 2y + 1 = 0

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