Determine a equação da reta
que passa pelo ponto
e é perpendicular à reta
, onde:
;
Passo 1
O enunciado fornece:
- A reta
dada por . - O ponto
.
O que se pede:
- Determinar a equação da reta
que passa por e é perpendicular a .
Passo 2
Entendendo a reta
. A equação
significa que todos os pontos dessa reta têm coordenada
igual a
e a coordenada
pode ser qualquer número real. Em forma paramétrica isso pode ser escrito como
Uma forma conveniente de ver a direção dessa reta é extrair um vetor paralelo a ela. Um vetor que percorre
quando aumentamos
é
Esse vetor aponta verticalmente (sem variação em
, só em
). Outra maneira de dizer:
é uma reta vertical, cuja inclinação (coeficiente angular) é indefinida.
Passo 3
O que significa ser perpendicular? Duas retas são perpendiculares quando seus vetores-direção têm produto escalar igual a zero. Se
é um vetor-direção de
, procuramos um vetor
tal que
Daí obtemos
. Logo qualquer vetor-direção perpendicular a
tem a forma
com
. Isso significa que a reta perpendicular a
é uma reta horizontal (varia em
mas não em
), ou seja, tem inclinação zero.
Passo 4
Equação geral de uma reta horizontal que passa por um ponto. Se uma reta é horizontal, suas coordenadas paramétricas podem ser escritas como
onde
é um ponto qualquer da reta. Eliminando o parâmetro obtemos a forma cartesiana
Aplicando isso ao ponto
, o valor de
é
, portanto a reta procurada é a reta horizontal que mantém
constante igual a
.
Passo 5
Verificação rápida de perpendicularidade e de que a reta passa por
. Um vetor-direção de
pode ser escolhido como
(horizontal). O produto escalar com
é
logo são perpendiculares. Além disso, a reta definida por
com
contém o ponto
porque
tem segunda coordenada
.