Determine a equação da reta r_{2} que passa pelo ponto A e é perpendicular à reta r_{1}, onde:
r_{1}: x=2, \quad A=(5,3);

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A reta r_{1} dada por \,x=2.
  • O ponto A=(5,3).
O que se pede:
  • Determinar a equação da reta r_{2} que passa por A e é perpendicular a r_{1}.

Passo 2

Entendendo a reta \,x=2. A equação \,x=2 significa que todos os pontos dessa reta têm coordenada x igual a 2 e a coordenada y pode ser qualquer número real. Em forma paramétrica isso pode ser escrito como
(x,y)=(2,t),\quad t\in\mathbb{R}.
Uma forma conveniente de ver a direção dessa reta é extrair um vetor paralelo a ela. Um vetor que percorre \,x=2 quando aumentamos t é
v_{1}=(0,1).
Esse vetor aponta verticalmente (sem variação em x, só em y). Outra maneira de dizer: \,x=2 é uma reta vertical, cuja inclinação (coeficiente angular) é indefinida.

Passo 3

O que significa ser perpendicular? Duas retas são perpendiculares quando seus vetores-direção têm produto escalar igual a zero. Se v_{1}=(0,1) é um vetor-direção de r_{1}, procuramos um vetor v_{2}=(a,b) tal que
v_{1}\cdot v_{2}=0\quad\Rightarrow\quad 0\cdot a + 1\cdot b = 0.
Daí obtemos b=0. Logo qualquer vetor-direção perpendicular a v_{1} tem a forma v_{2}=(a,0) com a\neq0. Isso significa que a reta perpendicular a r_{1} é uma reta horizontal (varia em x mas não em y), ou seja, tem inclinação zero.

Passo 4

Equação geral de uma reta horizontal que passa por um ponto. Se uma reta é horizontal, suas coordenadas paramétricas podem ser escritas como
(x,y)=(x_{0}+t,\,y_{0}),\quad t\in\mathbb{R},
onde (x_{0},y_{0}) é um ponto qualquer da reta. Eliminando o parâmetro obtemos a forma cartesiana
y=y_{0}.
Aplicando isso ao ponto A=(5,3), o valor de y_{0} é y_{0}=3, portanto a reta procurada é a reta horizontal que mantém y constante igual a y_{0}.

Passo 5

Verificação rápida de perpendicularidade e de que a reta passa por A. Um vetor-direção de r_{2} pode ser escolhido como v_{2}=(1,0) (horizontal). O produto escalar com v_{1}=(0,1) é
v_{1}\cdot v_{2}=0\cdot1+1\cdot0=0,
logo são perpendiculares. Além disso, a reta definida por y=y_{0} com y_{0}=3 contém o ponto A porque A tem segunda coordenada 3.

Resposta

y=3

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