Exemplo 16

Determine as equações cartesianas das retas perpendiculares à reta r que passa pelos pontos A=(1,0) e B=(-1,3).
Solução.

Passo 1

O enunciado dá dois pontos e diz que a reta r passa por eles:
  • A=(1,0).
  • B=(-1,3).
O que é pedido: obter as equações cartesianas (da forma ax+by+c=0) das retas que são perpendiculares à reta r e passam por A e por B. Ou seja, encontrar a reta perpendicular a r que passa por A e outra reta perpendicular a r que passa por B.

Passo 2

Primeiro precisamos achar a inclinação (coeficiente angular) da reta r. A inclinação entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dada por
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aplicando para A=(1,0) e B=(-1,3):
m_r=\frac{3-0}{-1-1}=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}.
Portanto a reta r tem coeficiente angular -\dfrac{3}{2}.

Passo 3

Regra importante (explicação curta): se duas retas não são verticais nem horizontais, elas são perpendiculares quando o produto dos seus coeficientes angulares é -1. Ou seja, se uma tem inclinação m, a perpendicular tem inclinação m_\perp tal que
m\cdot m_\perp=-1 \quad\Rightarrow\quad m_\perp=-\frac{1}{m}.
Aqui m_r=-\dfrac{3}{2}, logo
m_\perp=-\frac{1}{-\tfrac{3}{2}}=\frac{2}{3}.
Então toda reta perpendicular a r tem coeficiente angular \dfrac{2}{3}.

Passo 4

Agora escrevemos a reta perpendicular que passa por A=(1,0) usando a forma ponto-ângulo:
y-y_0=m_\perp(x-x_0).
Substituindo x_0=1, y_0=0, m_\perp=\dfrac{2}{3}:
y-0=\frac{2}{3}(x-1).
Desenvolvendo passo a passo: primeiro expandir o lado direito
y=\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}.
Para colocar em forma cartesiana ax+by+c=0 multiplica-se ambos os lados por 3:
3y=2x-2.
Passando tudo para o lado esquerdo:
2x-3y-2=0.
Essa é a equação cartesiana da reta perpendicular a r que passa por A.

Passo 5

Agora a reta perpendicular que passa por B=(-1,3). Usando a mesma forma:
y-3=\frac{2}{3}(x-(-1))=\frac{2}{3}(x+1).
Expandindo:
y-3=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}.
Somando 3 aos dois lados (ou isolando y):
y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}+3=\frac{2}{3}x+\frac{11}{3}.
Multiplicando por 3:
3y=2x+11.
Passando tudo para o lado esquerdo:
2x-3y+11=0.
Essa é a equação cartesiana da reta perpendicular a r que passa por B.

Passo 6

Para reforçar a intuição (opcional, mas útil): o vetor diretor de r é \overrightarrow{AB}=(-1-1,\;3-0)=(-2,3). Qualquer vetor perpendicular a ele satisfaz o produto escalar zero; por exemplo (3,2) é perpendicular porque (-2)\cdot 3 + 3\cdot 2 = -6+6=0. Assim as retas perpendiculares têm direção (3,2) e, tomando \overrightarrow{n}=(-2,3) como vetor normal, a equação geral da reta é -2x+3y+c=0. Ajustando c para cada ponto A e B recupera-se exatamente as equações obtidas acima, mostrando consistência dos dois métodos.

Resposta

2x-3y-2=0
2x-3y+11=0

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