Determine as equações cartesianas das retas perpendiculares à reta r que passa pelos pontos A=(1,0) e B=(-1,3).
Solução.
Passo 1
O enunciado dá dois pontos e diz que a reta r passa por eles:
A=(1,0).
B=(-1,3).
O que é pedido: obter as equações cartesianas (da forma ax+by+c=0) das retas que são perpendiculares à reta r e passam por A e por B. Ou seja, encontrar a reta perpendicular a r que passa por A e outra reta perpendicular a r que passa por B.
Passo 2
Primeiro precisamos achar a inclinação (coeficiente angular) da reta r. A inclinação entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é dada por
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aplicando para A=(1,0) e B=(-1,3):
m_r=\frac{3-0}{-1-1}=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2}.
Portanto a reta r tem coeficiente angular -\dfrac{3}{2}.
Passo 3
Regra importante (explicação curta): se duas retas não são verticais nem horizontais, elas são perpendiculares quando o produto dos seus coeficientes angulares é -1. Ou seja, se uma tem inclinação m, a perpendicular tem inclinação m_\perp tal que
Essa é a equação cartesiana da reta perpendicular a r que passa por B.
Passo 6
Para reforçar a intuição (opcional, mas útil): o vetor diretor de r é \overrightarrow{AB}=(-1-1,\;3-0)=(-2,3). Qualquer vetor perpendicular a ele satisfaz o produto escalar zero; por exemplo (3,2) é perpendicular porque (-2)\cdot 3 + 3\cdot 2 = -6+6=0. Assim as retas perpendiculares têm direção (3,2) e, tomando \overrightarrow{n}=(-2,3) como vetor normal, a equação geral da reta é -2x+3y+c=0. Ajustando c para cada ponto A e B recupera-se exatamente as equações obtidas acima, mostrando consistência dos dois métodos.