Proposição 3
As retas
e
são paralelas se, e somente se,
e
.
Prova.
Passo 1
O enunciado dá duas retas no plano:
-
, -
.
A tarefa é provar a proposição: “As retas
e
são paralelas se, e somente se,
e
.”
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As equações das retas estão na forma reduzida
. - As incógnitas da proposição são os parâmetros
. - Deve-se provar a bicondicional “se, e somente se”: ou seja, mostrar (i) que paralelo implica
e e (ii) que e implicam que as retas são paralelas.
Passo 2
Explicar o conceito que vamos usar (didática passo a passo, sem pular etapas):
-
O que significa “duas retas são paralelas” — aqui toma-se o significado geométrico usual: duas retas em um plano são paralelas se não têm nenhum ponto em comum e, portanto, não se interceptam. (Observação: se tiverem todos os pontos em comum são a mesma reta; essas não são consideradas paralelas neste enunciado porque paralelas são retas distintas sem interseção.)
-
O que representa
na reta — é o coeficiente angular (declive, inclinação, “slope”): indica a variação de quando varia. Duas retas com o mesmo coeficiente angular têm a mesma inclinação direcional; geometricamente, elas “apontam” na mesma direção. -
O que representa
— é o coeficiente linear (intercepto em ): é o valor de quando . Alterar desloca a reta para cima ou para baixo sem mudar sua inclinação.
Essas observações sugerem que igualar inclinações (
) é condição natural para paralelismo; a prova formal a seguir vai tornar isso preciso, com uma demonstração algebraica simples.
Passo 3
Provar a implicação "paralelas ⇒
e
".
- Começar por ver quando duas retas se intersectam. Se existir um ponto de interseção
comum a e , então seus são iguais, ou seja,
- Reescrever essa igualdade isolando
:
- Agora raciocinar por contradição. Suponha que
e são paralelas (logo não têm ponto em comum). Se fosse o caso que , então da equação anterior obteríamos uma solução única para , dada por
o que produziria um ponto de interseção (colocando esse
em qualquer das equações dá um
). Isso contradiz a hipótese de que as retas são paralelas (sem interseção). Portanto não pode ocorrer
; tem de ser
- Com
, a igualdade das ordenadas em um ponto comum se reduz a
Se
, então as duas equações são idênticas e as retas coincidem (têm todos os pontos em comum), o que também contradiz a hipótese de que são paralelas (pois paralelas aqui = distintas e sem interseção). Logo, para serem paralelas (distintas e sem interseção) é necessário que
Isso prova a direção necessária.
Passo 4
Provar a implicação "
e
⇒ paralelas".
- Suponha
e . Para haver interseção, deveríamos encontrar tal que
- Como
, essa igualdade simplifica para
- Mas estamos assumindo
, portanto a igualdade não pode ocorrer para nenhum . Conclusão: não existe ponto que satisfaça simultaneamente as duas equações; as retas não se intersectam. - Além disso, como
, as equações não são idênticas, então as retas são distintas. Portanto são retas distintas sem interseção — isto é, paralelas. Isso completa a direção suficiente.
Passo 5
Resumo final do raciocínio (pequena lição prática para a prova):
-
Para verificar se duas retas
e são paralelas na prova, basta checar o coeficiente angular: se então as retas se cruzam em exatamente um ponto (resolva ); se então as retas têm a mesma inclinação e substituindo vê-se que elas são coincidentes quando e são paralelas e distintas quando . -
Em linguagem curtinha que cai bem em prova: “Mesmo coeficiente angular e interceptos distintos ⇔ paralelas; mesmo coeficiente angular e mesmo intercepto ⇔ mesma reta; coeficientes angulares diferentes ⇔ se cruzam.”
Resposta
As retas
e
são paralelas se, e somente se,
e
.