Proposição 3

As retas r_{1}: y=m x+n e r_{2}: y=m^{\prime} x+n^{\prime} são paralelas se, e somente se, m=m^{\prime} e n \neq n^{\prime}.

Prova.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no plano:
  • r_{1}:\; y = m x + n,
  • r_{2}:\; y = m^{\prime} x + n^{\prime}.
A tarefa é provar a proposição: “As retas r_{1} e r_{2} são paralelas se, e somente se, m = m^{\prime} e n \neq n^{\prime}.”
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As equações das retas estão na forma reduzida y = mx + n.
  • As incógnitas da proposição são os parâmetros \,m,m^{\prime},n,n^{\prime}\,.
  • Deve-se provar a bicondicional “se, e somente se”: ou seja, mostrar (i) que paralelo implica m=m^{\prime} e n\neq n^{\prime} e (ii) que m=m^{\prime} e n\neq n^{\prime} implicam que as retas são paralelas.

Passo 2

Explicar o conceito que vamos usar (didática passo a passo, sem pular etapas):
  • O que significa “duas retas são paralelas” — aqui toma-se o significado geométrico usual: duas retas em um plano são paralelas se não têm nenhum ponto em comum e, portanto, não se interceptam. (Observação: se tiverem todos os pontos em comum são a mesma reta; essas não são consideradas paralelas neste enunciado porque paralelas são retas distintas sem interseção.)
  • O que representa m na reta y=mx+n m é o coeficiente angular (declive, inclinação, “slope”): indica a variação de y quando x varia. Duas retas com o mesmo coeficiente angular têm a mesma inclinação direcional; geometricamente, elas “apontam” na mesma direção.
  • O que representa n n é o coeficiente linear (intercepto em y): é o valor de y quando x=0. Alterar n desloca a reta para cima ou para baixo sem mudar sua inclinação.
Essas observações sugerem que igualar inclinações ( m=m') é condição natural para paralelismo; a prova formal a seguir vai tornar isso preciso, com uma demonstração algebraica simples.

Passo 3

Provar a implicação "paralelas ⇒ m=m^{\prime} e n\neq n^{\prime}".
  1. Começar por ver quando duas retas se intersectam. Se existir um ponto de interseção (x,y) comum a r_{1} e r_{2}, então seus y são iguais, ou seja,
m x + n = m^{\prime} x + n^{\prime}.
  1. Reescrever essa igualdade isolando x:
(m - m^{\prime})x = n^{\prime} - n.
  1. Agora raciocinar por contradição. Suponha que r_{1} e r_{2} são paralelas (logo não têm ponto em comum). Se fosse o caso que m \neq m^{\prime}, então da equação anterior obteríamos uma solução única para x, dada por
x = \dfrac{n^{\prime} - n}{m - m^{\prime}},
o que produziria um ponto de interseção (colocando esse x em qualquer das equações dá um y). Isso contradiz a hipótese de que as retas são paralelas (sem interseção). Portanto não pode ocorrer m \neq m^{\prime}; tem de ser
m = m^{\prime}.
  1. Com m = m^{\prime}, a igualdade das ordenadas em um ponto comum se reduz a
n = n^{\prime}.
Se n = n^{\prime}, então as duas equações são idênticas e as retas coincidem (têm todos os pontos em comum), o que também contradiz a hipótese de que são paralelas (pois paralelas aqui = distintas e sem interseção). Logo, para serem paralelas (distintas e sem interseção) é necessário que
n \neq n^{\prime}.
Isso prova a direção necessária.

Passo 4

Provar a implicação " m=m^{\prime} e n\neq n^{\prime} ⇒ paralelas".
  1. Suponha m = m^{\prime} e n \neq n^{\prime}. Para haver interseção, deveríamos encontrar x tal que
m x + n = m^{\prime} x + n^{\prime}.
  1. Como m = m^{\prime}, essa igualdade simplifica para
n = n^{\prime}.
  1. Mas estamos assumindo n \neq n^{\prime}, portanto a igualdade não pode ocorrer para nenhum x. Conclusão: não existe ponto (x,y) que satisfaça simultaneamente as duas equações; as retas não se intersectam.
  2. Além disso, como n \neq n^{\prime}, as equações não são idênticas, então as retas são distintas. Portanto são retas distintas sem interseção — isto é, paralelas. Isso completa a direção suficiente.

Passo 5

Resumo final do raciocínio (pequena lição prática para a prova):
  • Para verificar se duas retas y=mx+n e y=m' x+n' são paralelas na prova, basta checar o coeficiente angular: se m\neq m' então as retas se cruzam em exatamente um ponto (resolva (m-m')x=n'-n); se m=m' então as retas têm a mesma inclinação e substituindo vê-se que elas são coincidentes quando n=n' e são paralelas e distintas quando n\neq n'.
  • Em linguagem curtinha que cai bem em prova: “Mesmo coeficiente angular e interceptos distintos ⇔ paralelas; mesmo coeficiente angular e mesmo intercepto ⇔ mesma reta; coeficientes angulares diferentes ⇔ se cruzam.”

Resposta

As retas r_{1}: y = m x + n e r_{2}: y = m^{\prime} x + n^{\prime} são paralelas se, e somente se, m = m^{\prime} e n \neq n^{\prime}.

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