Calcule a integra \int e^{x} \sqrt{4+e^{2 x}} d x, usando:
uma substituição simples.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{x}\sqrt{4+e^{2x}}\,dx.
Informações dadas e objetivo: temos uma função composta em que aparece e^{x} tanto multiplicando quanto dentro da raiz. Queremos encontrar uma antiderivada (primitiva) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=e^{x}\sqrt{4+e^{2x}}. Não vamos resolver ainda; apenas identificamos o integrando e o que é pedido.

Passo 2

Escolhemos uma substituição simples para simplificar a expressão: seja
u=e^{x}.
Explico por que: e^{x} aparece multiplicando e também em e^{2x}=(e^{x})^{2}, então trocar e^{x} por u tende a eliminar a composição complicada. Diferenciando,
du = e^{x}\,dx.
Portanto e^{x}\,dx = du. Substituindo na integral original obtemos
\int e^{x}\sqrt{4+e^{2x}}\,dx = \int \sqrt{4+u^{2}}\,du.
Agora o problema ficou em integrar \sqrt{u^{2}+4} em relação a u.

Passo 3

Vamos integrar
\int \sqrt{u^{2}+4}\,du.
Uma técnica clássica para expressões do tipo \sqrt{u^{2}+a^{2}} é a substituição trigonométrica u=a\tan\theta. Aqui a=2, então fazemos
u = 2\tan\theta.
Calculemos os elementos da substituição:
du = 2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta, \qquad \sqrt{u^{2}+4} = \sqrt{4\tan^{2}\theta+4}=2\operatorname{sec}\theta.
Substituindo na integral:
\int \sqrt{u^{2}+4}\,du = \int (2\operatorname{sec}\theta)\,(2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta) = \int 4\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.

Passo 4

Agora precisamos calcular
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
Vou mostrar um método por partes e uma relação simples. Escrevemos
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \int \operatorname{sec}\theta\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Fazendo integração por partes, tomamos A=\operatorname{sec}\theta e dB=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta. Então dA=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta e B=\tan\theta. Aplicando a fórmula \int A\,dB = A B - \int B\,dA, obtemos
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \tan\theta\cdot(\operatorname{sec}\theta\tan\theta)\,d\theta.
Observe que \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1. Assim
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}^{2}\theta-1)\,d\theta.
Isto é
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Colocando os termos com \int \operatorname{sec}^{3}\theta juntos:
2\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Sabemos que
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.
Logo
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \tfrac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à integral com o fator 4:
\int 4\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = 4\left(\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \tfrac{1}{2}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|\right) + C.
Isso simplifica para
2\operatorname{sec}\theta\tan\theta + 2\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| + C.

Passo 6

Agora devolvemos tudo em termos de u. Lembrando que fizemos u=2\tan\theta, temos \tan\theta = \tfrac{u}{2} e
\operatorname{sec}\theta = \sqrt{1+\tan^{2}\theta} = \sqrt{1+\tfrac{u^{2}}{4}} = \frac{\sqrt{u^{2}+4}}{2}.
Calculemos cada termo:
\operatorname{sec}\theta\tan\theta = \frac{\sqrt{u^{2}+4}}{2}\cdot\frac{u}{2} = \frac{u\sqrt{u^{2}+4}}{4}.
Multiplicando por 2
2\operatorname{sec}\theta\tan\theta = \frac{u\sqrt{u^{2}+4}}{2}.
Para o logaritmo:
2\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| = 2\ln\left|\frac{\sqrt{u^{2}+4}}{2}+\frac{u}{2}\right| = 2\ln\left|\frac{u+\sqrt{u^{2}+4}}{2}\right|.
Podemos usar a propriedade dos logs para separar 2\ln\bigl|\tfrac{u+\sqrt{u^{2}+4}}{2}\bigr| = 2\ln|u+\sqrt{u^{2}+4}| - 2\ln 2. O termo constante -2\ln 2 pode ser incorporado na constante de integração C. Portanto uma antiderivada em termos de u é
\frac{u\sqrt{u^{2}+4}}{2} + 2\ln\bigl|u+\sqrt{u^{2}+4}\bigr| + C.

Passo 7

Voltemos à variável original x usando u=e^{x}. Como e^{x}>0 para todo x, podemos remover as barras de valor absoluto em u. Substituindo u=e^{x} na expressão obtida:
\int e^{x}\sqrt{4+e^{2x}}\,dx = \frac{e^{x}\sqrt{e^{2x}+4}}{2} + 2\ln\bigl(e^{x}+\sqrt{e^{2x}+4}\bigr) + C.
Pronto — esta é uma antiderivada explícita. Você pode verificar diferenciando para conferir que dá de volta o integrando.

Resposta

\frac{e^{x}\sqrt{e^{2x}+4}}{2} + 2\ln\bigl(e^{x}+\sqrt{e^{2x}+4}\bigr) + C

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