Calcule a integra \int e^{x} \sqrt{4+e^{2 x}} d x, usando:
uma substituição simples.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
\int e^{x}\sqrt{4+e^{2x}}\,dx.
Informações dadas e objetivo: temos uma função composta em que aparece e^{x} tanto multiplicando quanto dentro da raiz. Queremos encontrar uma antiderivada (primitiva) dessa função, isto é, uma função F(x) tal que F'(x)=e^{x}\sqrt{4+e^{2x}}. Não vamos resolver ainda; apenas identificamos o integrando e o que é pedido.
Passo 2
Escolhemos uma substituição simples para simplificar a expressão: seja
u=e^{x}.
Explico por que: e^{x} aparece multiplicando e também em e^{2x}=(e^{x})^{2}, então trocar e^{x} por u tende a eliminar a composição complicada. Diferenciando,
du = e^{x}\,dx.
Portanto e^{x}\,dx = du. Substituindo na integral original obtemos
Fazendo integração por partes, tomamos A=\operatorname{sec}\theta e dB=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta. Então dA=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta e B=\tan\theta. Aplicando a fórmula \int A\,dB = A B - \int B\,dA, obtemos
Podemos usar a propriedade dos logs para separar 2\ln\bigl|\tfrac{u+\sqrt{u^{2}+4}}{2}\bigr| = 2\ln|u+\sqrt{u^{2}+4}| - 2\ln 2. O termo constante -2\ln 2 pode ser incorporado na constante de integração C. Portanto uma antiderivada em termos de u é
\frac{u\sqrt{u^{2}+4}}{2} + 2\ln\bigl|u+\sqrt{u^{2}+4}\bigr| + C.
Passo 7
Voltemos à variável original x usando u=e^{x}. Como e^{x}>0 para todo x, podemos remover as barras de valor absoluto em u. Substituindo u=e^{x} na expressão obtida:
\int e^{x}\sqrt{4+e^{2x}}\,dx = \frac{e^{x}\sqrt{e^{2x}+4}}{2} + 2\ln\bigl(e^{x}+\sqrt{e^{2x}+4}\bigr) + C.
Pronto — esta é uma antiderivada explícita. Você pode verificar diferenciando para conferir que dá de volta o integrando.
Resposta
\frac{e^{x}\sqrt{e^{2x}+4}}{2} + 2\ln\bigl(e^{x}+\sqrt{e^{2x}+4}\bigr) + C