Calcule as integrais a seguir usando substituições trigonométricas:
\int_{2}^{4} \sqrt{x^{2}-4} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{2}^{4} \sqrt{x^{2}-4}\,dx.
Informações fornecidas:
  • O integrando é \sqrt{x^{2}-4}.
  • Os limites de integração são x=2 (inferior) e x=4 (superior).
  • Observe que a expressão dentro da raiz é da forma x^{2}-a^{2} com a=2.
    Nada mais será assumido aqui — a resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Motivação da substituição e escolha: quando aparece \sqrt{x^{2}-a^{2}} uma escolha padrão que simplifica a raiz é fazer uma substituição trigonométrica do tipo
x = a\operatorname{sec}\theta.
Por quê? Porque a identidade trigonométrica básica
\operatorname{sec}^{2}\theta - 1 = \tan^{2}\theta
transforma x^{2}-a^{2} em algo quadrático em \tan\theta, que fica fácil de manipular.
Aqui a=2, então fazemos a substituição
x = 2\operatorname{sec}\theta.
Agora calculemos dx e a raiz em termos de \theta:
dx = 2\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
E
\sqrt{x^{2}-4} = \sqrt{4\operatorname{sec}^{2}\theta - 4} = \sqrt{4(\operatorname{sec}^{2}\theta - 1)} = \sqrt{4\tan^{2}\theta} = 2|\tan\theta|.
Precisamos cuidar do sinal de \tan\theta: quais valores de \theta usamos? Como x=2\operatorname{sec}\theta e x vai de 2 a 4, temos \operatorname{sec}\theta \ge 1, logo tomamos \theta no intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}). Nesse intervalo \tan\theta\ge 0, então |\tan\theta|=\tan\theta. Portanto a raiz vira 2\tan\theta.

Passo 3

Transformação dos limites de integração:
  • Quando x=2: 2 = 2\operatorname{sec}\theta \Rightarrow \operatorname{sec}\theta=1 \Rightarrow \theta=0.
  • Quando x=4: 4 = 2\operatorname{sec}\theta \Rightarrow \operatorname{sec}\theta=2 \Rightarrow \cos\theta=\tfrac{1}{2} \Rightarrow \theta=\tfrac{\pi}{3} (no intervalo [0,\tfrac{\pi}{2})).
Portanto os novos limites são \theta=0 a \theta=\tfrac{\pi}{3}.

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
\int_{2}^{4} \sqrt{x^{2}-4}\,dx = \int_{\theta=0}^{\theta=\pi/3} \big(2\tan\theta\big)\big(2\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\big).
Multiplicando os fatores:
= \int_{0}^{\pi/3} 4\operatorname{sec}\theta\,\tan^{2}\theta\,d\theta.

Passo 5

Simplifique usando a identidade \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1:
4\operatorname{sec}\theta\,\tan^{2}\theta = 4\operatorname{sec}\theta(\operatorname{sec}^{2}\theta-1) = 4(\operatorname{sec}^{3}\theta - \operatorname{sec}\theta).
Assim a integral fica
\int_{0}^{\pi/3} 4(\operatorname{sec}^{3}\theta - \operatorname{sec}\theta)\,d\theta = 4\int_{0}^{\pi/3} \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta - 4\int_{0}^{\pi/3}\operatorname{sec}\theta\,d\theta.

Passo 6

Vamos lembrar (e provar rapidamente) as primitivas necessárias.
  1. Primitiva de \operatorname{sec}\theta:
    Considere a função F(\theta)=\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|. Diferenciando,
F'(\theta)=\frac{\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\operatorname{sec}^{2}\theta}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta} = \frac{\operatorname{sec}\theta(\tan\theta+\operatorname{sec}\theta)}{\operatorname{sec}\theta+\tan\theta}=\operatorname{sec}\theta.
Logo
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta| + C.
  1. Primitiva de \operatorname{sec}^{3}\theta (integração por partes):
    Escolha u=\operatorname{sec}\theta e dv=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta. Então du=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta e v=\tan\theta. Aplicando integração por partes:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \tan\theta(\operatorname{sec}\theta\tan\theta)\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}\theta\tan^{2}\theta\,d\theta.
Usando \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1:
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta - \int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Reagrupando:
2\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \operatorname{sec}\theta\tan\theta + \int \operatorname{sec}\theta\,d\theta.
Portanto
\int \operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta = \tfrac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \tfrac{1}{2}\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta| + C.

Passo 7

Agora voltamos à integral definida. Usando as primitivas:
\int 4(\operatorname{sec}^{3}\theta - \operatorname{sec}\theta)\,d\theta = 4\left(\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta + \tfrac{1}{2}\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta| - \ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|\right) + C.
Simplificando os termos de logaritmo:
= 4\left(\tfrac{1}{2}\operatorname{sec}\theta\tan\theta - \tfrac{1}{2}\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|\right) + C = 2\operatorname{sec}\theta\tan\theta - 2\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta| + C.

Passo 8

Avalie a primitiva entre os limites \theta=0 e \theta=\tfrac{\pi}{3}.
Primeiro em \theta=\tfrac{\pi}{3}:
\operatorname{sec}\!\tfrac{\pi}{3}=2,\qquad \tan\!\tfrac{\pi}{3}=\sqrt{3}.
Logo
2\operatorname{sec}\theta\tan\theta - 2\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|\Big|_{\theta=\pi/3} = 2\cdot 2\cdot\sqrt{3} - 2\ln(2+\sqrt{3}) = 4\sqrt{3} - 2\ln(2+\sqrt{3}).
Em \theta=0:
\operatorname{sec} 0 = 1,\qquad \tan 0 = 0,
portanto
2\operatorname{sec}\theta\tan\theta - 2\ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta|\Big|_{\theta=0} = 0 - 2\ln(1) = 0.
Subtraindo (valor em \pi/3 menos valor em 0) obtemos
\int_{2}^{4} \sqrt{x^{2}-4}\,dx = 4\sqrt{3} - 2\ln(2+\sqrt{3}).

Resposta

4\sqrt{3} - 2\ln(2+\sqrt{3})

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