Calcule as integrais a seguir usando substituições trigonométricas: \int_{2}^{4} \sqrt{x^{2}-4} d x;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{2}^{4} \sqrt{x^{2}-4}\,dx.
Informações fornecidas:
O integrando é \sqrt{x^{2}-4}.
Os limites de integração são x=2 (inferior) e x=4 (superior).
Observe que a expressão dentro da raiz é da forma x^{2}-a^{2} com a=2.
Nada mais será assumido aqui — a resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Motivação da substituição e escolha: quando aparece \sqrt{x^{2}-a^{2}} uma escolha padrão que simplifica a raiz é fazer uma substituição trigonométrica do tipo
x = a\operatorname{sec}\theta.
Por quê? Porque a identidade trigonométrica básica
\operatorname{sec}^{2}\theta - 1 = \tan^{2}\theta
transforma x^{2}-a^{2} em algo quadrático em \tan\theta, que fica fácil de manipular.
Precisamos cuidar do sinal de \tan\theta: quais valores de \theta usamos? Como x=2\operatorname{sec}\theta e x vai de 2 a 4, temos \operatorname{sec}\theta \ge 1, logo tomamos \theta no intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}). Nesse intervalo \tan\theta\ge 0, então |\tan\theta|=\tan\theta. Portanto a raiz vira 2\tan\theta.
Passo 3
Transformação dos limites de integração:
Quando x=2: 2 = 2\operatorname{sec}\theta \Rightarrow \operatorname{sec}\theta=1 \Rightarrow \theta=0.
Quando x=4: 4 = 2\operatorname{sec}\theta \Rightarrow \operatorname{sec}\theta=2 \Rightarrow \cos\theta=\tfrac{1}{2} \Rightarrow \theta=\tfrac{\pi}{3} (no intervalo [0,\tfrac{\pi}{2})).
Portanto os novos limites são \theta=0 a \theta=\tfrac{\pi}{3}.
\int \operatorname{sec}\theta\,d\theta = \ln|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta| + C.
Primitiva de \operatorname{sec}^{3}\theta (integração por partes):
Escolha u=\operatorname{sec}\theta e dv=\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta. Então du=\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta e v=\tan\theta. Aplicando integração por partes: