Encontre a reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa 2 .
Solução. Primeiro,
A derivada no ponto 2 é
Fazendo a diferença:
Logo,
A reta tangente no ponto (
) é
Portanto,
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- A função dada é
. - O ponto de abscissa pedido é
. - O que se quer: a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto cuja abscissa é . Ou seja, precisamos: - encontrar as coordenadas do ponto de tangência (ou seja, calcular
); - calcular a derivada de
em (isso dá a inclinação/coeficiente angular da reta); - montar a equação da reta usando o ponto e a inclinação.
- encontrar as coordenadas do ponto de tangência (ou seja, calcular
Passo 2
Definição usada: derivada como limite do quociente incremental.
- A derivada de
no ponto é definida por
Explicando com calma: aqui
é um pequeno incremento em
. A expressão
é a taxa média de variação de
entre
e
. Quando
tende a zero, essa taxa média tende à taxa instantânea — que é a inclinação da reta tangente.
Passo 3
Calcular a coordenada
do ponto de tangência (avaliar
em
).
Portanto o ponto de tangência é
.
Passo 4
Montar o quociente diferencial e simplificar a diferença no numerador.
Escrevendo o quociente:
Agora calcular a diferença das frações no numerador juntando em denominador comum:
Esse passo é só álgebra de frações: multiplicar em cruz ou colocar denominador comum
, subtrair numeradores e simplificar.
Passo 5
Substituir a diferença simplificada no quociente e fazer cancelamentos antes de tomar o limite.
Aqui simplificou-se o fator
(desde que
, o que é válido dentro do limite). Agora tomamos o limite quando
:
Explicando: como a função
é contínua em
, basta substituir
.
Passo 6
Interpretação: a derivada em
é a inclinação da reta tangente.
Isso significa que a reta tangente decresce com coeficiente angular
.
Passo 7
Construir a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação.
A forma ponto-inclinação da reta que passa por
com inclinação
é
Aqui
,
e
. Substituindo:
Expandindo e isolando
:
Pequena observação útil para prova: como atalho, reconhece-se que
e, aplicando a regra de potência,
; avaliando em
dá o mesmo resultado
.