Encontre a reta tangente ao gráfico de f(x)=1 / x no ponto de abscissa 2 .
Solução. Primeiro,
f(2)=\frac{1}{2}
A derivada no ponto 2 é
f^{\prime}(2)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}}{h}
Fazendo a diferença:
\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}=\frac{2-(2+h)}{2(2+h)}=\frac{-h}{2(2+h)}
Logo,
f^{\prime}(2)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{-h}{2(2+h) h}=\lim _{h \rightarrow 0}\left(-\frac{1}{2(2+h)}\right)=-\frac{1}{4} .
A reta tangente no ponto ( 2,1 / 2 ) é
y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-2)
Portanto,
y=-\frac{1}{4} x+1

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • A função dada é f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • O ponto de abscissa pedido é x=2.
  • O que se quer: a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto cuja abscissa é 2. Ou seja, precisamos:
    1. encontrar as coordenadas do ponto de tangência (ou seja, calcular f(2));
    2. calcular a derivada de f em 2 (isso dá a inclinação/coeficiente angular da reta);
    3. montar a equação da reta usando o ponto e a inclinação.

Passo 2

Definição usada: derivada como limite do quociente incremental.
  • A derivada de f no ponto x=2 é definida por
f'(2)=\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}.
Explicando com calma: aqui h é um pequeno incremento em x. A expressão \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} é a taxa média de variação de f entre 2 e 2+h. Quando h tende a zero, essa taxa média tende à taxa instantânea — que é a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Calcular a coordenada y do ponto de tangência (avaliar f em 2).
f(2)=\frac{1}{2}.
Portanto o ponto de tangência é \bigl(2,\tfrac{1}{2}\bigr).

Passo 4

Montar o quociente diferencial e simplificar a diferença no numerador.
Escrevendo o quociente:
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{\dfrac{1}{2+h}-\dfrac{1}{2}}{h}.
Agora calcular a diferença das frações no numerador juntando em denominador comum:
\frac{1}{2+h}-\frac{1}{2}=\frac{2-(2+h)}{2(2+h)}=\frac{-h}{2(2+h)}.
Esse passo é só álgebra de frações: multiplicar em cruz ou colocar denominador comum 2(2+h), subtrair numeradores e simplificar.

Passo 5

Substituir a diferença simplificada no quociente e fazer cancelamentos antes de tomar o limite.
\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\frac{\dfrac{-h}{2(2+h)}}{h}=-\frac{1}{2(2+h)}.
Aqui simplificou-se o fator h (desde que h\neq0, o que é válido dentro do limite). Agora tomamos o limite quando h\to0:
f'(2)=\lim_{h\to0}\left(-\frac{1}{2(2+h)}\right)=-\frac{1}{2\cdot 2}=-\frac{1}{4}.
Explicando: como a função -\dfrac{1}{2(2+h)} é contínua em h=0, basta substituir h=0.

Passo 6

Interpretação: a derivada em 2 é a inclinação da reta tangente.
m=f'(2)=-\frac{1}{4}.
Isso significa que a reta tangente decresce com coeficiente angular -\tfrac{1}{4}.

Passo 7

Construir a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação.
A forma ponto-inclinação da reta que passa por (x_0,y_0) com inclinação m é
y-y_0=m(x-x_0).
Aqui x_0=2, y_0=\dfrac{1}{2} e m=-\dfrac{1}{4}. Substituindo:
y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-2).
Expandindo e isolando y:
y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2},
y=-\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}= -\frac{1}{4}x+1.
Pequena observação útil para prova: como atalho, reconhece-se que f(x)=x^{-1} e, aplicando a regra de potência, f'(x)=-x^{-2}; avaliando em x=2 dá o mesmo resultado f'(2)=-\tfrac{1}{4}.

Resposta

y=-\dfrac{1}{4}x+1

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