Determine a equação da reta tangente à curva no ponto correspondente ao valor x indicado.
f(x)=2 x e^x , x=0

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à curva definida por f(x)=2x e^x no ponto em que x=0. O tema é derivada e reta tangente, e vamos usar a definição de derivada para obter o coeficiente angular da reta.

Passo 2

Primeiro, encontramos o ponto de tangência calculando f(0):
f(0)=2cdot0cdot e^0=0
Logo, o ponto é (0,0).

Passo 3

Agora vamos obter a derivada f'(x) usando a regra do produto. Para duas funções u(x)=2x e v(x)=e^x, vale
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
Aqui, u'(x)=2 e v'(x)=e^x, então
f'(x)=2cdot e^x + 2xcdot e^x =2e^x(1+x)

Passo 4

Em seguida, avaliamos o coeficiente angular no ponto x=0:
f'(0)=2e^0(1+0)=2cdot1cdot1=2
Portanto, a inclinação da reta tangente é m=2.

Passo 5

Por fim, montamos a equação da reta tangente usando a forma ponto- inclinação:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo (x0,y0)=(0,0) e m=2, obtemos
y - 0 = 2(x - 0)
ou simplesmente y=2x.

Resposta

y=2x

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