Determine a equação da reta tangente à curva no ponto dado.
Passo 1
Beleza, galera! Vamos resolver um exercício de cálculo sobre retas tangentes. A questão é: “Determine a equação da reta tangente à curva no ponto dado.” A curva está definida pela função vetorial
, e o ponto de tangência é
. Para resolver isso, vamos precisar entender de derivadas e como elas nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico da curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ t $ que corresponde ao ponto $ P(-1, -1) $ na função $ \vec{p}(t) $. Vamos igualar as componentes da função aos coordenadas do ponto:
Resolvendo a primeira equação:
Agora, vamos verificar na segunda equação com $ t = 2 $:
Então, o valor de $ t $ que corresponde ao ponto $ P(-1, -1) $ é $ t = 2 $.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial $ \vec{p}(t) $ em relação a $ t $. A derivada nos dá a taxa de variação da posição em cada componente, ou seja, nos indica a direção da reta tangente.
A função vetorial é:
Vamos derivar cada componente em relação a $ t $:
Então, a derivada da função vetorial é:
Passo 4
Vamos agora avaliar a derivada no valor de $ t = 2 $ que encontramos anteriormente:
A derivada nos dá o vetor diretor da reta tangente. Portanto, a inclinação $ m $ da reta tangente é dada pela razão entre as componentes $ \frac{dy}{dt} $ e $ \frac{dx}{dt} $:
Passo 5
Sabendo a inclinação da reta tangente $ m = -1 $ e o ponto de tangência $ P(-1, -1) $, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo $ m = -1 $, $ x_1 = -1 $ e $ y_1 = -1 $:
Distribuindo o -1:
Agora, isolando $ y $:
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto $ P(-1, -1) $ é: