Determine a equação da reta tangente à curva no ponto dado.
p(t)=(1-t, 11-t), P(-1,-1)

Passo 1

Beleza, galera! Vamos resolver um exercício de cálculo sobre retas tangentes. A questão é: “Determine a equação da reta tangente à curva no ponto dado.” A curva está definida pela função vetorial p(t) = (1-t, 11-t), e o ponto de tangência é P(-1, -1). Para resolver isso, vamos precisar entender de derivadas e como elas nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico da curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de $ t $ que corresponde ao ponto $ P(-1, -1) $ na função $ \vec{p}(t) $. Vamos igualar as componentes da função aos coordenadas do ponto:
t
Resolvendo a primeira equação:
P(-1, -1)
Agora, vamos verificar na segunda equação com $ t = 2 $:
p(t)
Então, o valor de $ t $ que corresponde ao ponto $ P(-1, -1) $ é $ t = 2 $.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função vetorial $ \vec{p}(t) $ em relação a $ t $. A derivada nos dá a taxa de variação da posição em cada componente, ou seja, nos indica a direção da reta tangente.
A função vetorial é:
p(t)
Vamos derivar cada componente em relação a $ t $:
t
p(t) = (1 - t, 11 - t)
Então, a derivada da função vetorial é:
t

Passo 4

Vamos agora avaliar a derivada no valor de $ t = 2 $ que encontramos anteriormente:
t = 2
A derivada nos dá o vetor diretor da reta tangente. Portanto, a inclinação $ m $ da reta tangente é dada pela razão entre as componentes $ \frac{dy}{dt} $ e $ \frac{dx}{dt} $:
p,'(2) = (-1, 1(1 - 2)^2) = (-1, 11) = (-1, 1)

Passo 5

Sabendo a inclinação da reta tangente $ m = -1 $ e o ponto de tangência $ P(-1, -1) $, podemos usar a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
m = -1
Substituindo $ m = -1 $, $ x_1 = -1 $ e $ y_1 = -1 $:
P(-1, -1)
Distribuindo o -1:
y - y1 = m(x - x1)
Agora, isolando $ y $:
m = -1

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto $ P(-1, -1) $ é:
P(-1, -1)

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