Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função:
y=e^{\sin (-2 x)} em x=\pi.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente ao gráfico de
y = e^{\sin(-2x)}
no ponto em que x = \pi.
Conteúdo: derivada de função composta (regra da cadeia) e equação de reta tangente.

Passo 2

Primeiro simplificamos o expoente usando a identidade \sin(-\theta) = -\sin(\theta). Assim
y = e^{\sin(-2x)} = e^{-\sin(2x)}.

Passo 3

Encontrar a ordenada do ponto de tangência, ou seja, y(\pi). Como \sin(2\pi)=0, temos
y(\pi) = e^{-\sin(2\pi)} = e^0 = 1.

Passo 4

Calcular a derivada y'. Aplicando regra da cadeia a y=e^{g(x)} com g(x)=-\sin(2x),
y' = e^{g(x)} \cdot g'(x) = e^{-\sin(2x)} \cdot \bigl(-\sin(2x)\bigr)'.
E \bigl(-\sin(2x)\bigr)' = -\cos(2x)\cdot 2 = -2\cos(2x). Logo
y' = -2\cos(2x)\,e^{-\sin(2x)}.

Passo 5

Avaliar y' em x=\pi. Como \cos(2\pi)=1 e e^{-\sin(2\pi)}=1, fica
y'(\pi) = -2\cdot 1 \cdot 1 = -2.
Então o coeficiente angular da tangente é m=-2.

Passo 6

A equação da reta tangente em (x_0,y_0)=(\pi,1) é
y - y_0 = m\,(x - x_0),
isto é
y - 1 = -2\bigl(x - \pi\bigr).
Desenvolvendo,
y = -2x + 2\pi + 1.

Resposta

A equação da reta tangente é
\boxed{y = -2x + 2\pi + 1}.

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