Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
(d) y=x^{3}-6 x^{2}+11 x-6, x=3

Passo 1

O enunciado dá a função e a abscissa do ponto onde queremos a reta tangente. Vamos listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
  • Função dada: y=x^{3}-6x^{2}+11x-6.
  • Abscissa do ponto onde queremos a tangente: x=3.
O que o exercício pede: determinar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto cuja abscissa é x=3. Ou seja, precisamos encontrar a equação da reta que toca o gráfico naquele ponto e tem a mesma inclinação local da curva.

Passo 2

Conceito chave (mini-aula): o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente a uma curva no ponto de abscissa a é a derivada da função naquele ponto, denotada por f'(a).
Definição da derivada (intuição e fórmula):
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui:
  • f é a função (no nosso caso f(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6);
  • a é o ponto de abscissa onde avaliamos (aqui a=3);
  • h é um incremento pequeno em x;
  • f'(a) é o valor limite que representa a inclinação da curva em x=a.
Fórmula prática para a reta tangente (forma ponto-inclinação):
y-f(a)=f'(a)\bigl(x-a\bigr).
Nessa fórmula:
  • f(a) é a ordenada do ponto de tangência;
  • f'(a) é a inclinação da reta tangente;
  • x,y são as variáveis da equação da reta.

Passo 3

Ferramenta prática (mini-aula): para funções polinomiais usa-se a regra do poder (power rule) para derivar termos monômios. A regra diz:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Outros fatos úteis:
  • A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • A derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante vezes a derivada da função.
  • A derivada de uma constante (número isolado) é 0.
Vamos aplicar isso termo a termo na nossa função.

Passo 4

Calcular a derivada f'(x) da função f(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6 aplicando a regra do poder termo a termo.
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • Derivada de -6x^{2} é -6\cdot 2x = -12x.
  • Derivada de 11x é 11.
  • Derivada de -6 (constante) é 0.
Portanto,
f'(x)=3x^{2}-12x+11.

Passo 5

Avaliar a derivada no ponto x=3 para obter a inclinação da reta tangente.
Calcule f'(3):
f'(3)=3\cdot 3^{2}-12\cdot 3+11.
Fazendo as contas passo a passo:
3^{2}=9,
3\cdot 9 =27,
12\cdot 3 =36,
27-36 = -9,
-9 + 11 = 2.
Logo a inclinação é f'(3)=2. (Ou seja, a reta tangente tem coeficiente angular 2.)

Passo 6

Encontrar a ordenada do ponto de tangência, isto é, calcular f(3).
Calcule f(3)=3^{3}-6\cdot 3^{2}+11\cdot 3-6.
Fazendo as contas passo a passo:
3^{3}=27,
3^{2}=9\Rightarrow 6\cdot 9 =54,
11\cdot 3 =33,
27-54 = -27,
-27 +33 = 6,
6 -6 = 0.
Portanto f(3)=0. O ponto de tangência é (3,0).

Passo 7

Agora aplicamos a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação:
y-f(3)=f'(3)\bigl(x-3\bigr).
Substituindo os valores que encontramos ( f(3)=0 e f'(3)=2):
y-0=2\bigl(x-3\bigr).
Essa é a equação da reta tangente em forma ponto-inclinação; pode-se simplificar para a forma explícita (slope-intercept) se desejado.

Resposta

y=2x-6

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