Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
(d)
,
(d)
Passo 1
O enunciado dá a função e a abscissa do ponto onde queremos a reta tangente. Vamos listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
- Função dada:
. - Abscissa do ponto onde queremos a tangente:
.
O que o exercício pede: determinar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto cuja abscissa é
. Ou seja, precisamos encontrar a equação da reta que toca o gráfico naquele ponto e tem a mesma inclinação local da curva.
Passo 2
Conceito chave (mini-aula): o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente a uma curva no ponto de abscissa
é a derivada da função naquele ponto, denotada por
.
Definição da derivada (intuição e fórmula):
Aqui:
-
é a função (no nosso caso ); -
é o ponto de abscissa onde avaliamos (aqui ); -
é um incremento pequeno em ; -
é o valor limite que representa a inclinação da curva em .
Fórmula prática para a reta tangente (forma ponto-inclinação):
Nessa fórmula:
-
é a ordenada do ponto de tangência; -
é a inclinação da reta tangente; -
são as variáveis da equação da reta.
Passo 3
Ferramenta prática (mini-aula): para funções polinomiais usa-se a regra do poder (power rule) para derivar termos monômios. A regra diz:
Outros fatos úteis:
- A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- A derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante vezes a derivada da função.
- A derivada de uma constante (número isolado) é
.
Vamos aplicar isso termo a termo na nossa função.
Passo 4
Calcular a derivada
da função
aplicando a regra do poder termo a termo.
- Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
é . - Derivada de
(constante) é .
Portanto,
Passo 5
Avaliar a derivada no ponto
para obter a inclinação da reta tangente.
Calcule
:
Fazendo as contas passo a passo:
Logo a inclinação é
. (Ou seja, a reta tangente tem coeficiente angular
.)
Passo 6
Encontrar a ordenada do ponto de tangência, isto é, calcular
.
Calcule
.
Fazendo as contas passo a passo:
Portanto
. O ponto de tangência é
.
Passo 7
Agora aplicamos a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores que encontramos (
e
):
Essa é a equação da reta tangente em forma ponto-inclinação; pode-se simplificar para a forma explícita (slope-intercept) se desejado.