Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
(f)
,
(f)
Passo 1
O enunciado fornece a função e o ponto de abscissa onde queremos a reta tangente. Dados extraídos do enunciado:
- Função:
. - Ponto de abscissa:
.
O que é pedido:
- Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto cuja abscissa é
.
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (explicando cada parte).
- A derivada de uma função
em um ponto , denotada por , representa a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa . - A equação da reta tangente em
é dada pela fórmula
Aqui:
-
é a ordenada do ponto de tangência (o valor da função em ); -
é a inclinação da reta tangente; -
e são as coordenadas gerais de pontos sobre a reta tangente.
Vou aplicar essa fórmula com. Primeiro preciso calcular e .
Passo 3
Calcular o valor da função no ponto
.
- A função é
. Então
- Sabendo que
, temos
Passo 4
Encontrar a derivada
(passo a passo, com explicação das regras usadas).
- A função é soma de duas funções:
e . A derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja,
- Derivada de
: para uma função linear , a derivada é a constante . Aqui , então
Explicação curta: a taxa de variação de uma reta
é sempre
, porque ao aumentar
de 1 a variação em
é
.
- Derivada de
: resultado padrão é
Breve justificativa (intuição): pela definição de derivada como limite
usando a identidade de soma de senos e limites trigonométricos
e
, chega-se em
. (Isso é uma demonstração padrão; aqui só fica a ideia principal.)
- Somando as duas derivadas:
Passo 5
Avaliar a derivada no ponto
.
- Substituindo
em :
- Como
, obtemos
Portanto a inclinação da reta tangente no ponto com abscissa
é
.
Passo 6
Montar a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 2.
- Lembrando a fórmula da reta tangente em
:
- Substituindo
e :
- Simplificando:
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida.
- A reta
passa pela origem (pois ) e tem inclinação , isto é, ao avançar unidade em sobe unidades em . Isso faz sentido porque a função original em tem termo linear mais uma pequena contribuição de ; no ponto a derivada dessa soma deu .