Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
(f) y=3 x+\operatorname{sen}(x), x=0

Passo 1

O enunciado fornece a função e o ponto de abscissa onde queremos a reta tangente. Dados extraídos do enunciado:
  • Função: y=3x+\operatorname{sen}(x).
  • Ponto de abscissa: x=0.
O que é pedido:
  • Determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto cuja abscissa é x=0.

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicando cada parte).
  • A derivada de uma função f em um ponto a, denotada por f'(a), representa a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa a.
  • A equação da reta tangente em x=a é dada pela fórmula
y = f(a) + f'(a)\,(x-a).
Aqui:
  • f(a) é a ordenada do ponto de tangência (o valor da função em x=a);
  • f'(a) é a inclinação da reta tangente;
  • x e y são as coordenadas gerais de pontos sobre a reta tangente.
    Vou aplicar essa fórmula com a=0. Primeiro preciso calcular f(0) e f'(0).

Passo 3

Calcular o valor da função no ponto x=0.
  • A função é f(x)=3x+\operatorname{sen}(x). Então
f(0)=3\cdot 0 + \operatorname{sen}(0).
  • Sabendo que \operatorname{sen}(0)=0, temos
f(0)=0.

Passo 4

Encontrar a derivada f'(x) (passo a passo, com explicação das regras usadas).
  • A função é soma de duas funções: 3x e \operatorname{sen}(x). A derivada de uma soma é a soma das derivadas. Ou seja,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x\bigr) + \frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr).
  • Derivada de 3x: para uma função linear \,g(x)=ax, a derivada é a constante a. Aqui a=3, então
\frac{d}{dx}\bigl(3x\bigr)=3.
Explicação curta: a taxa de variação de uma reta ax é sempre a, porque ao aumentar x de 1 a variação em y é a.
  • Derivada de \operatorname{sen}(x): resultado padrão é
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(x)\bigr)=\cos(x).
Breve justificativa (intuição): pela definição de derivada como limite
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}(x)}{h},
usando a identidade de soma de senos e limites trigonométricos \lim_{h\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}(h)}{h}=1 e \lim_{h\to 0}\cos(h)=1, chega-se em \cos(x). (Isso é uma demonstração padrão; aqui só fica a ideia principal.)
  • Somando as duas derivadas:
f'(x)=3+\cos(x).

Passo 5

Avaliar a derivada no ponto x=0.
  • Substituindo x=0 em f'(x)=3+\cos(x):
f'(0)=3+\cos(0).
  • Como \cos(0)=1, obtemos
f'(0)=3+1=4.
Portanto a inclinação da reta tangente no ponto com abscissa 0 é 4.

Passo 6

Montar a equação da reta tangente usando a fórmula do Passo 2.
  • Lembrando a fórmula da reta tangente em a=0:
y = f(0) + f'(0)\,(x-0).
  • Substituindo f(0)=0 e f'(0)=4:
y = 0 + 4\,(x-0).
  • Simplificando:
y = 4x.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida.
  • A reta y=4x passa pela origem (pois f(0)=0) e tem inclinação 4, isto é, ao avançar 1 unidade em x sobe 4 unidades em y. Isso faz sentido porque a função original em x=0 tem termo linear 3x mais uma pequena contribuição de \operatorname{sen}(x); no ponto 0 a derivada dessa soma deu 3+\cos(0)=4.

Resposta

y=4x

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