Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
(i) y=\sqrt{x^{2}+2 x}, x=1

Passo 1

O enunciado pede: determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função \,y=\sqrt{x^{2}+2x}\, no ponto de abscissa \,x=1.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A função é \,y=\sqrt{x^{2}+2x}\,.
  • O ponto de abscissa é \,x=1.
  • Para a reta tangente precisamos de dois dados: o ponto de contato (x_0,y_0) com \,x_0=1\, (ou seja, calcular \,y_0=y(1)\,) e a inclinação (coeficiente angular) \,m=y'(1)\, (a derivada da função em \,x=1).

Passo 2

Verificar se \,x=1\, pertence ao domínio da função, porque a raiz quadrada exige argumento não-negativo. O argumento é \,x^{2}+2x=x(x+2)\,. Resolvendo \,x(x+2)\ge0\, obtém-se as regiões \,x\le-2\, ou \,x\ge0. Como \,1\ge0\,, a abscissa \,x=1\, está no domínio, logo o ponto faz sentido.

Passo 3

Calcular a ordenada no ponto: \,y(1)=\sqrt{1^{2}+2\cdot1}=\sqrt{1+2}=\sqrt{3}. Portanto o ponto de contato é \,(1,\sqrt{3}).

Passo 4

Explicar como obter a derivada da função (a inclinação da tangente). Usarei a regra da cadeia porque a função é uma composição: primeiro define-se \,u(x)=x^{2}+2x\, e depois \,y(u)=\sqrt{u}=u^{1/2}. A regra da cadeia diz que
\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}.
Calculando cada parte: para \,y(u)=u^{1/2}\, tem-se \,\dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{2}u^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\,. Para \,u(x)=x^{2}+2x\, tem-se \,\dfrac{du}{dx}=2x+2\,. Multiplicando,
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot(2x+2).
Voltando a x (substituindo u=x^{2}+2x),
\frac{dy}{dx}=\frac{2x+2}{2\sqrt{x^{2}+2x}}=\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}+2x}}.

Passo 5

Avaliar a derivada em \,x=1\, para obter a inclinação da tangente:
m=y'(1)=\frac{1+1}{\sqrt{1^{2}+2\cdot1}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Então a reta tangente tem coeficiente angular \,m=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,.

Passo 6

Montar a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-declive:
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Substituindo \,x_{0}=1, \,y_{0}=\sqrt{3} e \,m=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,, obtemos
y-\sqrt{3}=\frac{2}{\sqrt{3}}\,(x-1).
É possível também deixar a reta na forma explícita y=mx+b. Calculando o termo independente:
b=y_{0}-m x_{0}=\sqrt{3}-\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot 1=\frac{3-2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Logo a forma explícita é
y=\frac{2}{\sqrt{3}}\,x+\frac{1}{\sqrt{3}}."]))print(default_api.SolutionSteps(solution_steps=["O enunciado pede: determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função \,y=\sqrt{x^{2}+2x}\, no ponto de abscissa \,x=1.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A função é \,y=\sqrt{x^{2}+2x}\,.
  • O ponto de abscissa é \,x=1.
  • Para a reta tangente precisamos de dois dados: o ponto de contato (x_0,y_0) com \,x_0=1\, (ou seja, calcular \,y_0=y(1)\,) e a inclinação (coeficiente angular) \,m=y'(1)\, (a derivada da função em \,x=1).",

Resposta

y-\sqrt{3}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}\,(x-1) (ou equivalentemente y=\dfrac{2}{\sqrt{3}}x+\dfrac{1}{\sqrt{3}}).

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