Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
(i)
,
(i)
Passo 1
O enunciado pede: determinar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto de abscissa
.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A função é
. - O ponto de abscissa é
. - Para a reta tangente precisamos de dois dados: o ponto de contato
com (ou seja, calcular ) e a inclinação (coeficiente angular) (a derivada da função em ).
Passo 2
Verificar se
pertence ao domínio da função, porque a raiz quadrada exige argumento não-negativo. O argumento é
. Resolvendo
obtém-se as regiões
ou
. Como
, a abscissa
está no domínio, logo o ponto faz sentido.
Passo 3
Calcular a ordenada no ponto:
. Portanto o ponto de contato é
.
Passo 4
Explicar como obter a derivada da função (a inclinação da tangente). Usarei a regra da cadeia porque a função é uma composição: primeiro define-se
e depois
. A regra da cadeia diz que
Calculando cada parte: para
tem-se
. Para
tem-se
. Multiplicando,
Voltando a
(substituindo
),
Passo 5
Avaliar a derivada em
para obter a inclinação da tangente:
Então a reta tangente tem coeficiente angular
.
Passo 6
Montar a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-declive:
Substituindo
,
e
, obtemos
É possível também deixar a reta na forma explícita
. Calculando o termo independente:
Logo a forma explícita é
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
- A função é
. - O ponto de abscissa é
. - Para a reta tangente precisamos de dois dados: o ponto de contato
com (ou seja, calcular ) e a inclinação (coeficiente angular) (a derivada da função em ).",