Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
(h)
,
(h)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a equação da reta tangente ao seu gráfico no ponto de abscissa
.
Informações relevantes do enunciado:
- A função é
. - O ponto onde se quer a tangente tem abscissa
. - É preciso determinar a reta tangente (ou seja, achar o coeficiente angular
da tangente nesse ponto e usar a equação da reta que passa pelo ponto com esse ).
Passo 2
Identificar o ponto do qual queremos a tangente: como nos deram a abscissa
, precisamos calcular a ordenada correspondente
.
Cálculo de
:
Portanto o ponto do gráfico onde queremos a reta tangente é
.
Observação sobre domínio: a função
exige
e
exige
; assim o domínio efetivo é
. O ponto
pertence ao domínio, então tudo certo.
Passo 3
Explicar o que é a derivada e como ela fornece a inclinação da tangente.
- A derivada
de uma função em um ponto é o limite do coeficiente angular das secantes e representa a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico naquele ponto. - Para obter a reta tangente no ponto
, usa-se a fórmula da reta em forma ponto-inclinação:
onde
é a derivada avaliada em
,
é a abscissa do ponto e
é a ordenada do ponto.
Passo 4
Calcular a derivada
da função. Primeiro reescrevo a função usando potências para aplicar a regra do poder (power rule):
Regra do poder: para qualquer
, vale
Aqui aplicamos essa regra termo a termo.
Derivando cada parcela:
Somando as derivadas:
Explicando os símbolos:
- Em
, o expoente significa multiplicado por . - Em
, o expoente significa .
Passo 5
Avaliar a derivada no ponto
para obter o coeficiente angular
.
Substituindo
em
:
Portanto o coeficiente angular da reta tangente é
.
Passo 6
Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação. Usando
,
e
, a equação é
Esta é a forma ponto-inclinação da reta tangente. Para ter a equação em forma explicita (inclinação-intercepto), desenvolve-se a expressão no próximo passo.
Passo 7
Transformar a equação ponto-inclinação em forma explicita
.
Começando de
somando
em ambos os lados:
Somando os termos constantes:
Logo a forma explicita é