Determine a equação da reta tangente ao gráfico das seguintes funções, no ponto de abscissa dada:
(h) y=\sqrt{x}+\frac{1}{x}, x=1

Passo 1

O enunciado dá a função y=\sqrt{x}+\dfrac{1}{x} e pede a equação da reta tangente ao seu gráfico no ponto de abscissa x=1.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é y=\sqrt{x}+\dfrac{1}{x}.
  • O ponto onde se quer a tangente tem abscissa x=1.
  • É preciso determinar a reta tangente (ou seja, achar o coeficiente angular m da tangente nesse ponto e usar a equação da reta que passa pelo ponto (x_0,y_0) com esse m).

Passo 2

Identificar o ponto do qual queremos a tangente: como nos deram a abscissa x_0=1, precisamos calcular a ordenada correspondente y_0=y(1).
Cálculo de y(1):
y(1)=\sqrt{1}+\dfrac{1}{1}=1+1=2.
Portanto o ponto do gráfico onde queremos a reta tangente é (x_0,y_0)=(1,2).
Observação sobre domínio: a função \sqrt{x} exige x\ge0 e \dfrac{1}{x} exige x\neq0; assim o domínio efetivo é x>0. O ponto x=1 pertence ao domínio, então tudo certo.

Passo 3

Explicar o que é a derivada e como ela fornece a inclinação da tangente.
  • A derivada y'(x) de uma função em um ponto x é o limite do coeficiente angular das secantes e representa a inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico naquele ponto.
  • Para obter a reta tangente no ponto (x_0,y_0), usa-se a fórmula da reta em forma ponto-inclinação:
y-y_0=m(x-x_0),
onde m=y'(x_0) é a derivada avaliada em x_0, x_0 é a abscissa do ponto e y_0 é a ordenada do ponto.

Passo 4

Calcular a derivada y'(x) da função. Primeiro reescrevo a função usando potências para aplicar a regra do poder (power rule):
y=\sqrt{x}+\dfrac{1}{x}=x^{1/2}+x^{-1}.
Regra do poder: para qualquer n\in\mathbb{R}, vale
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}.
Aqui aplicamos essa regra termo a termo.
Derivando cada parcela:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.
Somando as derivadas:
y'(x)=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}-x^{-2}.
Explicando os símbolos:
  • Em \tfrac{1}{2}x^{-1/2}, o expoente -\tfrac{1}{2} significa 1/\sqrt{x} multiplicado por \tfrac{1}{2}.
  • Em -x^{-2}, o expoente -2 significa -1/x^{2}.

Passo 5

Avaliar a derivada no ponto x_0=1 para obter o coeficiente angular m.
Substituindo x=1 em y'(x):
y'(1)=\tfrac{1}{2}\cdot 1^{-1/2}-1^{-2}=\tfrac{1}{2}\cdot 1 -1 =\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{1}{2}.
Portanto o coeficiente angular da reta tangente é m=-\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Escrever a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação. Usando x_0=1, y_0=2 e m=-\tfrac{1}{2}, a equação é
y-2=-\tfrac{1}{2}\,(x-1).
Esta é a forma ponto-inclinação da reta tangente. Para ter a equação em forma explicita (inclinação-intercepto), desenvolve-se a expressão no próximo passo.

Passo 7

Transformar a equação ponto-inclinação em forma explicita y=mx+b.
Começando de
y-2=-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2},
somando 2 em ambos os lados:
y=-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2}+2.
Somando os termos constantes:
\tfrac{1}{2}+2=\tfrac{1}{2}+\tfrac{4}{2}=\tfrac{5}{2}.
Logo a forma explicita é
y=-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{5}{2}.

Resposta

y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}

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