Se f e g são funções diferenciáveis tais que
\mathrm{f}(2)=3, f^{\prime}(2)=-1, g(2)=-5, g^{\prime}(2)=2, determine o valor de h^{\prime}(2) se:
(a) \mathrm{h}(\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x}) \mathrm{g}(\mathrm{x});

Passo 1

O enunciado dá valores de f, f', g e g' em x=2 e pede a derivada de h em x=2 quando
h(x)=f(x)\,g(x).
Informações fornecidas (retiradas do enunciado):
  • f(2)=3.
  • f'(2)=-1.
  • g(2)=-5.
  • g'(2)=2.
A pergunta é: calcular h'(2).

Passo 2

Entendendo o que é pedido: h'(2) é a taxa de variação instantânea de h no ponto x=2. Para funções compostas por produto de duas funções, existe uma regra de derivação chamada regra do produto que dá a derivada de h(x)=f(x)g(x) em termos de f, g e suas derivadas.

Passo 3

Apresentando a regra do produto (fórmula) e explicando cada símbolo:
\text{Se } h(x)=f(x)g(x), \text{ então } h'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).ã
Aqui:
  • h'(x) é a derivada de h em um ponto genérico x.
  • f'(x) é a derivada de f em x.
  • g'(x) é a derivada de g em x.
    A regra diz: para derivar um produto, deriva-se a primeira função e multiplica-se pela segunda, depois soma-se a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
Breve intuição (sem limites formais): ao mudar x um pouquinho, o produto f(x)g(x) muda por duas contribuições — a variação de f mantendo g quase igual, e a variação de g mantendo f quase igual — e somando essas duas variações obtém-se a taxa total.

Passo 4

Agora aplicando a regra do produto em x=2. Usando a fórmula:
h'(2)=f'(2)\,g(2)+f(2)\,g'(2).
Substituindo os valores dados:
h'(2)=\bigl(-1\bigr)\cdot\bigl(-5\bigr)+3\cdot2.

Passo 5

Fazendo as contas passo a passo:
\bigl(-1\bigr)\cdot\bigl(-5\bigr)=5,
3\cdot2=6,
h'(2)=5+6=11.

Resposta

11

Exercícios relacionados