Se f e g são funções diferenciáveis tais que
, determine o valor de
se:
(a)
;
(a)
Passo 1
O enunciado dá valores de
,
,
e
em
e pede a derivada de
em
quando
Informações fornecidas (retiradas do enunciado):
-
. -
. -
. -
.
A pergunta é: calcular
.
Passo 2
Entendendo o que é pedido:
é a taxa de variação instantânea de
no ponto
. Para funções compostas por produto de duas funções, existe uma regra de derivação chamada regra do produto que dá a derivada de
em termos de
,
e suas derivadas.
Passo 3
Apresentando a regra do produto (fórmula) e explicando cada símbolo:
Aqui:
-
é a derivada de em um ponto genérico . -
é a derivada de em . -
é a derivada de em .
A regra diz: para derivar um produto, deriva-se a primeira função e multiplica-se pela segunda, depois soma-se a primeira multiplicada pela derivada da segunda.
Breve intuição (sem limites formais): ao mudar
um pouquinho, o produto
muda por duas contribuições — a variação de
mantendo
quase igual, e a variação de
mantendo
quase igual — e somando essas duas variações obtém-se a taxa total.
Passo 4
Agora aplicando a regra do produto em
. Usando a fórmula:
Substituindo os valores dados:
Passo 5
Fazendo as contas passo a passo: