Determine a equaçâo da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto
indicado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = x^2 $ no ponto onde $ x_0 = -1 $. Isso envolve conceitos de derivadas e geometria analítica, já que a reta tangente toca a curva apenas naquele ponto específico. Vamos precisar calcular a derivada da função para achar o coeficiente angular da reta tangente e depois usar a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a coordenada $ y $ do ponto onde $ x_0 = -1 $. Substituindo na função:
Então, o ponto de tangência é
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) = x^2 $, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $. A derivada de $ x^2 $ em relação a $ x $ é:
Passo 4
Vamos calcular a derivada no ponto $ x_0 = -1 $ para achar o coeficiente angular da reta tangente:
Então, a inclinação da reta tangente é
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto de tangência
, podemos usar a equação ponto-inclinação da reta, que é:
Onde $ m $ é a inclinação e
Passo 6
Substituindo os valores na equação:
Passo 7
Simplificando para a forma mais comum:
Resposta
A equação da reta tangente é $ y = -2x - 1 $.