Determine a equaçâo da reta tangente ao gráfico das seguintes funções no ponto x0 indicado:
f(x)=x^2, x0=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função $ f(x) = x^2 $ no ponto onde $ x_0 = -1 $. Isso envolve conceitos de derivadas e geometria analítica, já que a reta tangente toca a curva apenas naquele ponto específico. Vamos precisar calcular a derivada da função para achar o coeficiente angular da reta tangente e depois usar a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a coordenada $ y $ do ponto onde $ x_0 = -1 $. Substituindo na função:
y
Então, o ponto de tangência é x0 = -1 .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) = x^2 $, que nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto $ x $. A derivada de $ x^2 $ em relação a $ x $ é:
f(x) = x^2

Passo 4

Vamos calcular a derivada no ponto $ x_0 = -1 $ para achar o coeficiente angular da reta tangente:
x0 = -1
Então, a inclinação da reta tangente é f'(-1) = 2(-1) = -2 .

Passo 5

Com a inclinação -2 e o ponto de tangência (-1, 1), podemos usar a equação ponto-inclinação da reta, que é:
y - y1 = m(x - x1)
Onde $ m $ é a inclinação e m é o ponto.

Passo 6

Substituindo os valores na equação:
y - 1 = -2(x - (-1))
y - 1 = -2(x + 1)

Passo 7

Simplificando para a forma mais comum:
y - 1 = -2x - 2
y = -2x - 2 + 1
y = -2x - 1

Resposta

A equação da reta tangente é $ y = -2x - 1 $.

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