Encontre a solução particular da equação diferencial abaixo usando condiçōes iniciais y(0)=2 e y^prime(0)=1 :
y^prime prime-3 y^prime+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para achar a solução particular da equação diferencial y'' - 3y' + 2y = 0 com as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=1. Esse é um problema de equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes, e vamos usar a equação característica para resolver.

Passo 2

Montamos a equação característica r^2 - 3r + 2 = 0. Resolvendo-a, obtemos as raízes r=1 e r=2. Assim, a solução geral da equação homogênea é y(t) = C1 e^t + C2 e^2t.

Passo 3

Para aplicar as condições iniciais, derivamos y(t): y'(t) = C1 e^t + 2 C2 e^2t. Avaliando em t=0, temos o sistema
C1 + C2 = 2
C1 + 2C2 = 1.

Passo 4

Resolvendo esse sistema, subtraindo a primeira equação da segunda, achamos C2 = -1. Substituindo em C1 + C2 = 2, vem C1 = 3. Portanto, a solução particular que satisfaz as condições iniciais é y(t) = 3e^t - e^2t.

Resposta

y(t) = 3e^t - e^2t

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