Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados.
x^{3}=y \cdot 2^{y}, no ponto em que a normal é vertical.

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^{3}=y\cdot 2^{y}
e pede a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico no ponto onde a normal é vertical.
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva é dada por \,x^{3}=y\,2^{y}\,.
  • Queremos as retas tangente e normal no(s) ponto(s) em que a normal é vertical.

Passo 2

Entendendo o que significa “normal vertical” e como obter as retas:
  • A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico em um ponto é \dfrac{dy}{dx}.
  • A reta normal tem inclinação -\dfrac{1}{(dy/dx)} sempre que \dfrac{dy}{dx} for finito e não nulo.
  • Para que a normal seja vertical, sua inclinação deve ser “infinita” (reta vertical). Isso ocorre quando a inclinação da tangente é nula, isto é, quando
\frac{dy}{dx}=0.
(Explicação curta: se a tangente é horizontal ( \frac{dy}{dx}=0), a normal é perpendicular a ela e, portanto, vertical.)

Passo 3

Vamos calcular \dfrac{dy}{dx} por diferenciação implícita. Diferenciando ambos os lados de
x^{3}=y\,2^{y}
em relação a x obtemos, do lado esquerdo,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
Do lado direito usamos a regra do produto e a regra da cadeia: primeiro calcular a derivada em relação a y e multiplicar por \dfrac{dy}{dx}. A derivada em relação a y de y\,2^{y} é
\frac{d}{dy}\bigl(y\,2^{y}\bigr)=2^{y}+y\,2^{y}\ln 2 = 2^{y}\bigl(1+y\ln 2\bigr).
Aplicando a cadeia (multiplicando por \dfrac{dy}{dx}) temos
\frac{d}{dx}\bigl(y\,2^{y}\bigr)=2^{y}\bigl(1+y\ln 2\bigr)\cdot\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Igualando as derivadas dos dois lados:
3x^{2}=2^{y}\bigl(1+y\ln 2\bigr)\cdot\frac{dy}{dx}.
Isolando \dfrac{dy}{dx} obtemos a fórmula para a inclinação da tangente:
\frac{dy}{dx}=\frac{3x^{2}}{2^{y}\bigl(1+y\ln 2\bigr)}.

Passo 5

Agora aplicamos a condição da normal vertical: \dfrac{dy}{dx}=0. Pela expressão acima, isso acontece quando o numerador é zero (e o denominador não é zero simultaneamente). O numerador é 3x^{2}, logo
3x^{2}=0\quad\Rightarrow\quad x=0.
Para encontrar o(s) ponto(s) na curva com x=0 usamos a equação original:
(0)^{3}=y\,2^{y}\quad\Rightarrow\quad 0=y\,2^{y}.
Como 2^{y}>0 para todo y, a única solução é
y=0.
Portanto existe exatamente um ponto com normal vertical: \,(0,0).

Passo 6

Determinar as retas tangente e normal em \,(0,0):
  • A inclinação da tangente em \,(0,0) é \dfrac{dy}{dx} com x=0 e y=0. Pelo passo 4, o numerador é 3\cdot 0^{2}=0, então a inclinação da tangente é 0. A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação (com ponto (0,0) e inclinação m=0) é
y=0\cdot(x-0)+0,
ou simplesmente
y=0.
  • Se a tangente é a reta horizontal y=0, a normal é a reta perpendicular a ela e, portanto, vertical passando por x=0. A equação da normal é
x=0.

Resposta

Reta tangente: y=0
Reta normal: x=0

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