Determine a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados.
, no ponto em que a normal é vertical.
Passo 1
O enunciado dá a curva implícita
e pede a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico no ponto onde a normal é vertical.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A curva é dada por
. - Queremos as retas tangente e normal no(s) ponto(s) em que a normal é vertical.
Passo 2
Entendendo o que significa “normal vertical” e como obter as retas:
- A inclinação (coeficiente angular) da reta tangente ao gráfico em um ponto é
. - A reta normal tem inclinação
sempre que for finito e não nulo. - Para que a normal seja vertical, sua inclinação deve ser “infinita” (reta vertical). Isso ocorre quando a inclinação da tangente é nula, isto é, quando
(Explicação curta: se a tangente é horizontal (
), a normal é perpendicular a ela e, portanto, vertical.)
Passo 3
Vamos calcular
por diferenciação implícita. Diferenciando ambos os lados de
em relação a
obtemos, do lado esquerdo,
Do lado direito usamos a regra do produto e a regra da cadeia: primeiro calcular a derivada em relação a
e multiplicar por
. A derivada em relação a
de
é
Aplicando a cadeia (multiplicando por
) temos
Passo 4
Igualando as derivadas dos dois lados:
Isolando
obtemos a fórmula para a inclinação da tangente:
Passo 5
Agora aplicamos a condição da normal vertical:
. Pela expressão acima, isso acontece quando o numerador é zero (e o denominador não é zero simultaneamente). O numerador é
, logo
Para encontrar o(s) ponto(s) na curva com
usamos a equação original:
Como
para todo
, a única solução é
Portanto existe exatamente um ponto com normal vertical:
.
Passo 6
Determinar as retas tangente e normal em
:
- A inclinação da tangente em
é com e . Pelo passo 4, o numerador é , então a inclinação da tangente é . A equação da reta tangente em forma ponto-inclinação (com ponto e inclinação ) é
ou simplesmente
- Se a tangente é a reta horizontal
, a normal é a reta perpendicular a ela e, portanto, vertical passando por . A equação da normal é
Resposta
Reta tangente:
Reta normal:
Reta normal: