Determine uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados.
\left\{\begin{array}{l}x=\operatorname{sen}(t) \\\ y=\operatorname{sen}(2 t)\end{array}, t \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\right., no ponto t=\frac{\pi}{6}.

Passo 1

O enunciado fornece a curva paramétrica
x=\sin(t),\qquad y=\sin(2t),\qquad t\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right],
e pede: determinar uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico dessa curva no ponto correspondente ao parâmetro t=\frac{\pi}{6}.
Informações dadas:
  • A expressão de x(t) é \sin(t).
  • A expressão de y(t) é \sin(2t).
  • O ponto de interesse é para t=\dfrac{\pi}{6}.
O que se deve encontrar:
  • A reta tangente à curva no ponto (x(\tfrac{\pi}{6}),y(\tfrac{\pi}{6})).
  • A reta normal (reta perpendicular à tangente) nesse mesmo ponto.

Passo 2

Calcular as coordenadas do ponto na curva para t=\dfrac{\pi}{6}.
Cálculo de x_0:
x_0 = x\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2}.
Cálculo de y_0:
y_0 = y\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\sin\!\left(2\cdot\tfrac{\pi}{6}\right)=\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Portanto o ponto da curva é \left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 3

Explicar como obter a inclinação da tangente a partir da parametrização.
Para uma curva dada por x=x(t) e y=y(t), a inclinação da tangente (ou seja, a derivada \dfrac{dy}{dx}) é obtida pela regra da cadeia dividindo as derivadas em relação a t:
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}},
desde que \dfrac{dx}{dt}\neq 0 no ponto considerado. Aqui t é o parâmetro, x(t) e y(t) são as coordenadas; \dfrac{dx}{dt} é a velocidade na direção x e \dfrac{dy}{dt} é a velocidade na direção y.

Passo 4

Calcular as derivadas \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} e avaliá‑las em t=\dfrac{\pi}{6}.
Derivadas gerais:
\frac{dx}{dt}=\cos(t), \qquad \frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}\big(\sin(2t)\big)=2\cos(2t),
onde para \sin(2t) foi usada a regra da cadeia: derivada de \sin(u) é \cos(u)\cdot u' com u=2t e u'=2.
Avaliação em t=\dfrac{\pi}{6}:
\frac{dx}{dt}\Big|_{t=\tfrac{\pi}{6}}=\cos\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2},
\frac{dy}{dt}\Big|_{t=\tfrac{\pi}{6}}=2\cos\!\left(2\cdot\tfrac{\pi}{6}\right)=2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=2\cdot\tfrac{1}{2}=1.
Observação: \dfrac{dx}{dt}\big|_{t=\tfrac{\pi}{6}}=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\neq 0, então a fórmula para \dfrac{dy}{dx} é válida aqui.

Passo 5

Calcular a inclinação da reta tangente \dfrac{dy}{dx} no ponto.
Usando a fórmula:
\frac{dy}{dx}\Big|_{t=\tfrac{\pi}{6}}=\frac{\dfrac{dy}{dt}\big|_{t=\tfrac{\pi}{6}}}{\dfrac{dx}{dt}\big|_{t=\tfrac{\pi}{6}}}=\frac{1}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Racionalizando o denominador:
\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}.
Portanto a inclinação (coeficiente angular) da tangente é m_{\text{tang}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}.

Passo 6

Escrever a equação da reta tangente em forma ponto‑inclinação e simplificar para a forma y=mx+b.
Forma ponto‑inclinação:
y-y_0=m_{\text{tang}}(x-x_0).
Substituindo x_0=\tfrac{1}{2}, y_0=\tfrac{\sqrt{3}}{2} e m_{\text{tang}}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}:
y-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\!\left(x-\frac{1}{2}\right).
Converter para a forma y=mx+b. Calculando o coeficiente linear b:
b=y_0-m_{\text{tang}}x_0=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2\sqrt{3}}{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}.
Logo a reta tangente pode ser escrita como
y=\frac{2\sqrt{3}}{3}\,x+\frac{\sqrt{3}}{6}.

Passo 7

Determinar a reta normal (perpendicular à tangente) no ponto.
A inclinação da normal é o negativo do recíproco da inclinação da tangente:
m_{\text{norm}}=-\frac{1}{m_{\text{tang}}}=-\frac{1}{\tfrac{2}{\sqrt{3}}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Equação ponto‑inclinação da normal:
y-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\!\left(x-\frac{1}{2}\right).
Podemos também escrever na forma y=mx+b. Calculando b para a normal:
b_{\text{norm}}=y_0-m_{\text{norm}}x_0=\frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{4}.
Portanto a reta normal é
y=-\frac{\sqrt{3}}{2}\,x+\frac{3\sqrt{3}}{4}.

Resposta

y-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3}\!\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \quad (reta tangente)\n
y-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\!\left(x-\dfrac{1}{2}\right) \quad (reta normal)

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