Determine uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados.
\left\{\begin{array}{l}x=6 t\left(1+t^{2}\right)^{-1} \\\ y=6 t^{2}\left(1+t^{2}\right)^{-1}\end{array}, 0 \leq t \leq 1\right., no ponto de abscissa \frac{12}{5}.

Passo 1

Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
  • Função em forma paramétrica (peguei do enunciado):
x(t)=6t\left(1+t^{2}\right)^{-1},\qquad y(t)=6t^{2}\left(1+t^{2}\right)^{-1},
com 0\le t\le1.
  • O enunciado pede: determinar a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico (curva parametrizada) no ponto cuja abscissa (coord. x) vale \dfrac{12}{5}.
  • Informações relevantes listadas:
    • Há que encontrar o(s) valor(es) de t tais que x(t)=\dfrac{12}{5}.
    • Depois, calcular a ordenada y correspondente e a inclinação da tangente \dfrac{dy}{dx} naquele t.
    • A reta normal tem coeficiente angular igual a -1 dividido pelo coeficiente angular da tangente (quando a tangente não é vertical).

Passo 2

Primeiro, achar t tal que x(t)=\dfrac{12}{5}.
Escrevendo a equação:
\frac{6t}{1+t^{2}}=\frac{12}{5}.
Multiplicando ambos os lados por 1+t^{2} e reorganizando:
6t=\frac{12}{5}(1+t^{2}) \quad\Rightarrow\quad 30t=12+12t^{2}.
Colocando tudo num lado:
12t^{2}-30t+12=0.
Dividindo por 6:
2t^{2}-5t+2=0.
Resolver a quadrática (fórmula de Bhaskara):
t=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{4}=\frac{5\pm3}{4}.
Portanto as raízes são t=2 e t=\tfrac{1}{2}. Como o domínio dado é 0\le t\le1, o valor relevante é
t=\frac{1}{2}.

Passo 3

Calcular a ordenada y correspondente a t=\tfrac{1}{2}.
Substituindo em y(t)=\dfrac{6t^{2}}{1+t^{2}}:
y\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{6\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}}{1+\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}} =\frac{6\cdot\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}} =\frac{\tfrac{6}{4}}{\tfrac{5}{4}} =\frac{6}{5}.
Logo o ponto pedido é
\left(x_{0},y_{0}\right)=\left(\frac{12}{5},\frac{6}{5}\right).

Passo 4

Explicar como obter a inclinação da tangente para curvas paramétricas (fórmula e motivo).
  • Para uma curva dada por x(t) e y(t), quando x e y são funções diferenciáveis de t e dx/dt\neq0, a derivada \dfrac{dy}{dx} é dada por
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}}.
Isto vem da regra da cadeia: dy/dx=(dy/dt)\cdot(dt/dx)=(dy/dt)/(dx/dt).
  • Para calcular dx/dt e dy/dt aqui uso a regra do produto / cadeia. Vou diferenciar passo a passo.

Passo 5

Calcular dx/dt e dy/dt explicitamente.
Escrever x(t)=6t(1+t^{2})^{-1}. Aplicando a regra do produto e da cadeia:
\frac{dx}{dt}=6\cdot(1+t^{2})^{-1}+6t\cdot(-1)(1+t^{2})^{-2}\cdot(2t).
Simplificando:
\frac{dx}{dt}=\frac{6}{1+t^{2}}-\frac{12t^{2}}{(1+t^{2})^{2}} =\frac{6(1+t^{2})-12t^{2}}{(1+t^{2})^{2}} =\frac{6(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}.
Agora y(t)=6t^{2}(1+t^{2})^{-1}. Diferenciando:
\frac{dy}{dt}=12t(1+t^{2})^{-1}+6t^{2}\cdot(-1)(1+t^{2})^{-2}\cdot(2t).
Simplificando:
\frac{dy}{dt}=\frac{12t}{1+t^{2}}-\frac{12t^{3}}{(1+t^{2})^{2}} =\frac{12t(1+t^{2})-12t^{3}}{(1+t^{2})^{2}} =\frac{12t}{(1+t^{2})^{2}}.

Passo 6

Calcular \dfrac{dy}{dx} e avaliar em t=\tfrac{1}{2}.
Usando a fórmula:
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} =\frac{\dfrac{12t}{(1+t^{2})^{2}}}{\dfrac{6(1-t^{2})}{(1+t^{2})^{2}}} =\frac{12t}{6(1-t^{2})} =\frac{2t}{1-t^{2}}.
Agora t=\tfrac{1}{2}:
m=\frac{dy}{dx}\Big|_{t=\tfrac{1}{2}}=\frac{2\cdot\frac{1}{2}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}} =\frac{1}{1-\tfrac{1}{4}} =\frac{1}{\tfrac{3}{4}}=\frac{4}{3}.
Portanto o coeficiente angular da reta tangente é m=\dfrac{4}{3}.
Observação rápida: dx/dt em t=\tfrac{1}{2} vale \dfrac{6(1-(1/4))}{(1+(1/4))^{2}}= positivo, logo a derivada \dfrac{dy}{dx} é bem definida (não é tangente vertical).

Passo 7

Escrever a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação e simplificar.
Ponto \left(\dfrac{12}{5},\dfrac{6}{5}\right) e inclinação m=\dfrac{4}{3}:
y-\frac{6}{5}=\frac{4}{3}\left(x-\frac{12}{5}\right).
Calcular o coeficiente linear (intercepto):
b=\frac{6}{5}-\frac{4}{3}\cdot\frac{12}{5} =\frac{6}{5}-\frac{48}{15} =\frac{6}{5}-\frac{16}{5} =-\frac{10}{5}=-2.
Logo a reta tangente, na forma y=mx+b, fica
y=\frac{4}{3}x-2.

Passo 8

Encontrar a reta normal. A reta normal tem coeficiente angular igual a -1/m (quando m\neq0).
Aqui m=\dfrac{4}{3}, então o coeficiente angular da normal é
m_{n}=-\frac{1}{m}=-\frac{3}{4}.
Usando o ponto \left(\dfrac{12}{5},\dfrac{6}{5}\right):
y-\frac{6}{5}=-\frac{3}{4}\left(x-\frac{12}{5}\right).
Calcular o coeficiente linear da normal:
b_{n}=\frac{6}{5}+ \frac{3}{4}\cdot\frac{12}{5} =\frac{6}{5}+\frac{36}{20} =\frac{6}{5}+\frac{9}{5} =\frac{15}{5}=3.
Portanto a reta normal é
y=-\frac{3}{4}x+3.

Resposta

y=\dfrac{4}{3}x-2
y=-\dfrac{3}{4}x+3

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