Determine uma equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados. \left\{\begin{array}{l}x=6 t\left(1+t^{2}\right)^{-1} \\\ y=6 t^{2}\left(1+t^{2}\right)^{-1}\end{array}, 0 \leq t \leq 1\right., no ponto de abscissa \frac{12}{5}.
Passo 1
Vou listar com clareza o que o enunciado dá e o que pede.
Função em forma paramétrica (peguei do enunciado):
O enunciado pede: determinar a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico (curva parametrizada) no ponto cuja abscissa (coord. x) vale \dfrac{12}{5}.
Informações relevantes listadas:
Há que encontrar o(s) valor(es) de t tais que x(t)=\dfrac{12}{5}.
Depois, calcular a ordenada y correspondente e a inclinação da tangente \dfrac{dy}{dx} naquele t.
A reta normal tem coeficiente angular igual a -1 dividido pelo coeficiente angular da tangente (quando a tangente não é vertical).
Passo 2
Primeiro, achar t tal que x(t)=\dfrac{12}{5}.
Escrevendo a equação:
\frac{6t}{1+t^{2}}=\frac{12}{5}.
Multiplicando ambos os lados por 1+t^{2} e reorganizando:
Portanto o coeficiente angular da reta tangente é m=\dfrac{4}{3}.
Observação rápida: dx/dt em t=\tfrac{1}{2} vale \dfrac{6(1-(1/4))}{(1+(1/4))^{2}}= positivo, logo a derivada \dfrac{dy}{dx} é bem definida (não é tangente vertical).
Passo 7
Escrever a equação da reta tangente usando a fórmula ponto-inclinação e simplificar.
Ponto \left(\dfrac{12}{5},\dfrac{6}{5}\right) e inclinação m=\dfrac{4}{3}: