Determine a equação da reta tangente em (x0, f(x0)) sendo dados
f(x) = x^3 + 1/x e x0 = 1

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e queremos encontrar a equação da reta tangente nesse ponto específico onde . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente a uma curva em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Substituindo na função:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função para determinar a inclinação da reta tangente no ponto . A derivada de uma função nos dá a taxa de variação instantânea, ou seja, a inclinação da curva naquele ponto.
A função é:
Vamos derivar cada termo separadamente:
  • A derivada de é .
  • A derivada de pode ser reescrita como e sua derivada é .
Portanto, a derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada no ponto :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é 2.

Passo 5

Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente é:

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