Considere a região R entre as curvas y=x^{3} e x=2. Determine o volume do sólido obtido reta rotação de R em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo y a região R limitada pela curva
y = x^3
e pela reta
x = 2.
Este é um problema de cálculo de volume por rotação; vamos usar o método das cascas cilíndricas, pois giramos em torno de um eixo vertical e a descrição natural é em função de x.

Passo 2

Para aplicar cascas cilíndricas, primeiro caracterizamos R no plano xy. Observamos que, para ficar fechada, a região precisa também do limite inferior y=0. Assim
0 \le x \le 2, \quad 0 \le y \le x^3.
Ao girar em torno do eixo y, cada elemento vertical em abscissa x gera uma casca de:
– raio =x,
– altura =x^3 - 0 = x^3,
– espessura dx.

Passo 3

Pelo método das cascas cilíndricas, o volume de uma casca elementar é
dV = 2\pi \\ (\text{raio})\times(\text{altura})\,dx = 2\pi\,x\cdot x^3\,dx = 2\pi\,x^4\,dx.
Para o volume total, integramos de x=0 até x=2.

Passo 4

Calculemos
V = \int_{0}^{2} 2\pi\,x^4\,dx = 2\pi \int_{0}^{2} x^4\,dx = 2\pi \left[\frac{x^5}{5}\right]_{0}^{2} = 2\pi\cdot\frac{2^5}{5} = 2\pi\cdot\frac{32}{5} = \frac{64\pi}{5}.

Resposta

V = \frac{64\pi}{5}.

Exercícios relacionados