Determine se as equações abaixo são exatas. Para aquelas que forem exatas, encontre uma solução.
\frac{d y}{d x}=\frac{a x-b y}{b x-c}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{a x - b y}{b x - c},
onde a,b,c são constantes (assumir constantes reais) e pede:
  • Determinar se a equação é exata.
  • Caso seja exata, determinar a solução geral.
Informações relevantes fornecidas:
  • Variáveis independentes e dependentes: x e y.
  • A equação está dada em forma de razão \dfrac{dy}{dx}=\cdots.
  • Constantes: a,\;b,\;c.

Passo 2

Colocar a equação na forma diferencial M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, que é a forma usada para testar exatidão. Multiplicando ambos os lados por dx e rearranjando:
(b x - c)\,dy = (a x - b y)\,dx
\Rightarrow -(a x - b y)\,dx + (b x - c)\,dy = 0.
Logo podemos identificar
M(x,y) = -a x + b y, \qquad N(x,y) = b x - c.
Lembrete (conceito): a equação M\,dx+N\,dy=0 é exata se existir uma função potencial \varphi(x,y) tal que \phi_x=M e \phi_y=N. O teste prático é verificar se \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}.
Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = b, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = b.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=b, a equação é exata.

Passo 3

Agora vamos achar a função potencial \varphi(x,y) que satisfaz
\phi_x = M = -a x + b y, \qquad \phi_y = N = b x - c.
Integramos \phi_x em relação a x, tratando a constante de integração como função de y:
\varphi(x,y)=\int (-a x + b y)\,dx = -\frac{a}{2}x^2 + b x y + h(y),
onde h(y) é uma função desconhecida de y.

Passo 4

Agora derivamos \varphi(x,y) em relação a y e igualamos a N(x,y) para determinar h(y):
\phi_y = b x + h'(y).
Comparando com N(x,y)=b x - c, obtém-se
b x + h'(y) = b x - c \quad\Rightarrow\quad h'(y) = -c.
Integrando em y:
h(y) = -c y + K,
onde K é constante. Substituindo em \varphi,
\varphi(x,y) = -\frac{a}{2}x^2 + b x y - c y + K.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é \varphi(x,y)=\text{const}. Podemos escrever (absorvendo K na constante da solução)
-\frac{a}{2}x^2 + b x y - c y = C.

Passo 5

Se for desejável uma forma explícita para y (quando b x - c \neq 0), isole y:
b x y - c y = (b x - c)\,y = C + \frac{a}{2}x^2,
portanto
y = \frac{C + \dfrac{a}{2}x^2}{b x - c},\qquad \text{(para \(b x - c\neq0\)).}
Observação rápida: pontos ou curvas onde b x - c=0 tornam a expressão original \dfrac{a x - b y}{b x - c} singular; nessas linhas a equação dada não está definida.

Resposta

Sim, a equação é exata.
Solução geral (implícita): -\dfrac{a}{2}x^2 + b x y - c y = C.
Solução explícita (quando b x - c\neq0): y = \dfrac{C + \dfrac{a}{2}x^2}{b x - c}.

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