Determine se as equações abaixo são exatas. Para aquelas que forem exatas, encontre uma solução.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
onde
são constantes (assumir constantes reais) e pede:
- Determinar se a equação é exata.
- Caso seja exata, determinar a solução geral.
Informações relevantes fornecidas:
- Variáveis independentes e dependentes:
e . - A equação está dada em forma de razão
. - Constantes:
.
Passo 2
Colocar a equação na forma diferencial
, que é a forma usada para testar exatidão. Multiplicando ambos os lados por
e rearranjando:
Logo podemos identificar
Lembrete (conceito): a equação
é exata se existir uma função potencial
tal que
e
. O teste prático é verificar se
.
Calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 3
Agora vamos achar a função potencial
que satisfaz
Integramos
em relação a
, tratando a constante de integração como função de
:
onde
é uma função desconhecida de
.
Passo 4
Agora derivamos
em relação a
e igualamos a
para determinar
:
Comparando com
, obtém-se
Integrando em
:
onde
é constante. Substituindo em
,
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
. Podemos escrever (absorvendo
na constante da solução)
Passo 5
Se for desejável uma forma explícita para
(quando
), isole
:
portanto
Observação rápida: pontos ou curvas onde
tornam a expressão original
singular; nessas linhas a equação dada não está definida.
Resposta
Sim, a equação é exata.
Solução geral (implícita):
Solução explícita (quando ):
Solução geral (implícita):
Solução explícita (quando