Resolva o PVI
(2 x-y) d x+(2 y-x) d y=0, \quad y(1)=3

Passo 1

O problema fornece a equação diferencial com condição inicial
(2x-y)\,dx+(2y-x)\,dy=0,\qquad y(1)=3.
O que se pede é encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial dada. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação está na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=2x-y e N(x,y)=2y-x.
  • A condição inicial é \,y(1)=3.

Passo 2

Verificar se a equação é exata (este é um método padrão quando a equação está na forma M\,dx+N\,dy=0). A equação é exata se existir uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y),\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Uma condição prática para exatidão (quando M e N têm derivadas contínuas) é checar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x-y)=-1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2y-x)=-1.
Como \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}, a equação é exata. Isso garante a existência de \Phi(x,y) com as propriedades acima.

Passo 3

Método para resolver uma equação exata: encontrar a função potencial \Phi(x,y) integrando M em relação a x (tratando y como constante) e depois determinar a parte dependente de y através de N.
Integramos M(x,y)=2x-y em relação a x:
\Phi(x,y)=\int (2x-y)\,dx = \int 2x\,dx - \int y\,dx = x^2 - xy + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque tratámos y como constante ao integrar em x). Expliquei: ao integrar em x, qualquer função que dependa só de y desaparece da derivada parcial em x, por isso a representamos por h(y).

Passo 4

Agora impomos que \partial \Phi/\partial y = N(x,y). Calcule \partial \Phi/\partial y a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^2 - xy + h(y)\big) = -x + h'(y).
Igualando a N(x,y)=2y-x obtemos:
-x + h'(y) = 2y - x \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=2y.
Integramos h'(y) em relação a y:
h(y)=\int 2y\,dy = y^2 + C,
onde C é uma constante real.

Passo 5

Assim a função potencial é
\Phi(x,y)=x^2 - xy + y^2 + C.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é obtida fixando \Phi(x,y)=\text{constante}. Podemos absorver C num só valor constante k, obtendo a família de curvas:
x^2 - xy + y^2 = k,
onde k é constante determinada pela condição inicial.

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(1)=3 para determinar k. Substituindo x=1 e y=3 na relação implícita:
1^2 - 1\cdot 3 + 3^2 = 1 - 3 + 9 = 7.
Logo k=7. A solução particular implícita é
x^2 - xy + y^2 = 7.

Passo 7

Se for desejável obter y explicitamente em função de x, tratamos a equação como uma equação quadrática em y:
y^2 - x y + x^2 - 7 = 0.
Aplicando a fórmula quadrática para y (lembre: para ay^2+by+c=0, y=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}; aqui a=1, b=-x, c=x^2-7):
Calcule o discriminante:
\Delta = (-x)^2 - 4\cdot 1\cdot (x^2-7) = x^2 - 4x^2 + 28 = 28 - 3x^2.
Portanto
y(x)=\frac{x\pm\sqrt{28-3x^2}}{2}.

Passo 8

Escolher a rama (sinal + ou -) que satisfaz a condição inicial y(1)=3. Para x=1 temos \sqrt{28-3\cdot1^2}=\sqrt{25}=5. As duas possibilidades são
y(1)=\frac{1+5}{2}=3 \quad\text{ou}\quad y(1)=\frac{1-5}{2}=-2.
A condição inicial y(1)=3 corresponde ao sinal +. Logo a solução explícita que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\frac{x+\sqrt{28-3x^2}}{2}.
Observe também que a expressão exige 28-3x^2\ge 0, isto é, o domínio real onde a solução explícita está definida é
|x|\le \sqrt{\tfrac{28}{3}}.

Resposta

x^2-xy+y^2=7
y(x)=\dfrac{x+\sqrt{28-3x^2}}{2},\quad |x|\le\sqrt{\tfrac{28}{3}}

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