Resolva o PVI
Passo 1
O problema fornece a equação diferencial com condição inicial
O que se pede é encontrar a função
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial dada. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A equação está na forma
com e . - A condição inicial é
.
Passo 2
Verificar se a equação é exata (este é um método padrão quando a equação está na forma
). A equação é exata se existir uma função potencial
tal que
Uma condição prática para exatidão (quando
e
têm derivadas contínuas) é checar se
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso garante a existência de
com as propriedades acima.
Passo 3
Método para resolver uma equação exata: encontrar a função potencial
integrando
em relação a
(tratando
como constante) e depois determinar a parte dependente de
através de
.
Integramos
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque tratámos
como constante ao integrar em
). Expliquei: ao integrar em
, qualquer função que dependa só de
desaparece da derivada parcial em
, por isso a representamos por
.
Passo 4
Agora impomos que
. Calcule
a partir da expressão encontrada:
Igualando a
obtemos:
Integramos
em relação a
:
onde
é uma constante real.
Passo 5
Assim a função potencial é
A solução geral implícita da equação diferencial exata é obtida fixando
. Podemos absorver
num só valor constante
, obtendo a família de curvas:
onde
é constante determinada pela condição inicial.
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na relação implícita:
Logo
. A solução particular implícita é
Passo 7
Se for desejável obter
explicitamente em função de
, tratamos a equação como uma equação quadrática em
:
Aplicando a fórmula quadrática para
(lembre: para
,
; aqui
,
,
):
Calcule o discriminante:
Calcule o discriminante:
Portanto
Passo 8
Escolher a rama (sinal
ou
) que satisfaz a condição inicial
. Para
temos
. As duas possibilidades são
A condição inicial
corresponde ao sinal
. Logo a solução explícita que satisfaz a condição inicial é
Observe também que a expressão exige
, isto é, o domínio real onde a solução explícita está definida é