Determine se as equações abaixo são exatas. Para aquelas que forem exatas, encontre uma solução.
\left(3 x^{2}-2 x y+2\right) d x+\left(6 y^{2}-x^{2}+3\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(3 x^{2}-2 x y+2\right)\,dx+\left(6 y^{2}-x^{2}+3\right)\,dy=0.
O que precisa ser feito:
  • Determinar se essa equação é exata (ou seja, se existe uma função \Phi(x,y) tal que \partial \Phi/\partial x e \partial \Phi/\partial y correspondam aos coeficientes dados).
  • Se for exata, encontrar a solução geral (a família de curvas implícitas \Phi(x,y)=C).
Informações relevantes que pegamos do enunciado:
  • O coeficiente de dx (que chamaremos de M(x,y)) é M(x,y)=3x^{2}-2xy+2.
  • O coeficiente de dy (que chamaremos de N(x,y)) é N(x,y)=6y^{2}-x^{2}+3.

Passo 2

Explicando a ideia de forma bem direta e prática.
Definição prática de equação exata:
  • Uma equação da forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existir uma função \Phi(x,y) com \frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y),\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
  • Num domínio simples (por exemplo \mathbb{R}^2 inteiro) uma maneira prática de testar exatidão é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem: \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.Isso vem do fato de que, se \Phi existe e for suficientemente suave, então \Phi_{xy}=\Phi_{yx}.
Vou usar esse teste primeiro; se der exata, construo \Phi integrando M em x e ajustando com uma função arbitrária de y.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais cruzadas (mostrando os passos).
Temos M(x,y)=3x^{2}-2xy+2. Diferenciando em relação a y (tratando x como constante):
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}-2xy+2\bigr) = -2x.
Temos N(x,y)=6y^{2}-x^{2}+3. Diferenciando em relação a x (tratando y como constante):
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(6y^{2}-x^{2}+3\bigr) = -2x.
Comparando:
\frac{\partial M}{\partial y}=-2x=\frac{\partial N}{\partial x}.
Portanto as derivadas cruzadas coincidem em todo (x,y), e como M e N são polinômios (logo contínuas), a equação é exata no domínio inteiro.

Passo 4

Construir a função potencial \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M.
Começo integrando M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int \bigl(3x^{2}-2xy+2\bigr)\,dx.
Integro termo a termo (mostrando cada integral):
  • \displaystyle \int 3x^{2}\,dx = x^{3}.
  • \displaystyle \int (-2xy)\,dx = -2y\int x\,dx = -2y\cdot\frac{x^{2}}{2} = -x^{2}y.
  • \displaystyle \int 2\,dx = 2x.
Somando e lembrando que pode faltar uma função dependente só de y (porque a derivada em x dessa função seria zero):
\Phi(x,y)=x^{3}-x^{2}y+2x + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y que iremos determinar.

Passo 5

Determinar h(y) comparando \Phi_{y} com N(x,y).
Calculo a derivada parcial de \Phi em relação a y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3}-x^{2}y+2x + h(y)\bigr) = -x^{2} + h'(y).
Pelo requisito de exatidão, isso deve ser igual a N(x,y):
-x^{2}+h'(y) = 6y^{2}-x^{2}+3.
Cancelando -x^{2} dos dois lados, obtemos
h'(y)=6y^{2}+3.
Agora integro em relação a y para obter h(y):
h(y)=\int (6y^{2}+3)\,dy = 2y^{3}+3y + C_0.
O C_0 é constante absoluta; ela pode ser absorvida na constante final da solução implícita, então vou omitir C_0 na expressão de \Phi e introduzir uma constante C na etapa final.

Passo 6

Escrever a função potencial completa e apresentar a solução implícita.
Substituindo h(y)=2y^{3}+3y em \Phi:
\Phi(x,y)=x^{3}-x^{2}y+2x + 2y^{3}+3y.
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
\Phi(x,y)=C,
ou seja
x^{3}-x^{2}y+2x + 2y^{3}+3y = C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 7

Verificação rápida (controle de erro, para ficar mais seguro):
  • Diferenciando \Phi em x obtém-se 3x^{2}-2xy+2=M.
  • Diferenciando \Phi em y obtém-se -x^{2}+6y^{2}+3=N.
    Logo a construção está consistente.

Resposta

A equação é exata.
x^{3}-x^{2}y+2x + 2y^{3}+3y = C

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