Determine se as equações abaixo são exatas. Para aquelas que forem exatas, encontre uma solução.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que precisa ser feito:
- Determinar se essa equação é exata (ou seja, se existe uma função
tal que e correspondam aos coeficientes dados). - Se for exata, encontrar a solução geral (a família de curvas implícitas
).
Informações relevantes que pegamos do enunciado:
- O coeficiente de
(que chamaremos de ) é . - O coeficiente de
(que chamaremos de ) é .
Passo 2
Explicando a ideia de forma bem direta e prática.
Definição prática de equação exata:
- Uma equação da forma
é exata se existir uma função com - Num domínio simples (por exemplo
inteiro) uma maneira prática de testar exatidão é verificar se as derivadas parciais cruzadas coincidem: Isso vem do fato de que, se existe e for suficientemente suave, então .
Vou usar esse teste primeiro; se der exata, construo
integrando
em
e ajustando com uma função arbitrária de
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais cruzadas (mostrando os passos).
Temos
. Diferenciando em relação a
(tratando
como constante):
Temos
. Diferenciando em relação a
(tratando
como constante):
Comparando:
Portanto as derivadas cruzadas coincidem em todo
, e como
e
são polinômios (logo contínuas), a equação é exata no domínio inteiro.
Passo 4
Construir a função potencial
tal que
.
Começo integrando
em relação a
, tratando
como constante:
Integro termo a termo (mostrando cada integral):
-
. -
-
Somando e lembrando que pode faltar uma função dependente só de
(porque a derivada em
dessa função seria zero):
onde
é uma função arbitrária de
que iremos determinar.
Passo 5
Determinar
comparando
com
.
Calculo a derivada parcial de
em relação a
:
Pelo requisito de exatidão, isso deve ser igual a
:
Cancelando
dos dois lados, obtemos
Agora integro em relação a
para obter
:
O
é constante absoluta; ela pode ser absorvida na constante final da solução implícita, então vou omitir
na expressão de
e introduzir uma constante
na etapa final.
Passo 6
Escrever a função potencial completa e apresentar a solução implícita.
Substituindo
em
:
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
ou seja
onde
é constante arbitrária.
Passo 7
Verificação rápida (controle de erro, para ficar mais seguro):
- Diferenciando
em obtém-se . - Diferenciando
em obtém-se .
Logo a construção está consistente.
Resposta
A equação é exata.