Determine se as equações abaixo são exatas. Para aquelas que forem exatas, encontre uma solução.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
As perguntas são:
- Determinar se a equação é exata.
- Se for exata, encontrar uma solução (implícita) da equação.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A equação está escrita na forma
. - Os termos visíveis são
e , que serão usados para identificar e .
Passo 2
Identificar
e
comparando com a forma
.
Portanto:
Passo 3
Explicar o teste de exatidão e aplicá-lo. Uma equação na forma
é exata se existe uma função potencial
tal que
Um teste prático: a equação é exata se
Calcule as derivadas parciais (mostrando passo a passo):
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Método para obter a solução a partir da exatidão (aqui com bastante detalhe didático).
Se é a função potencial, então
. Integramos
em relação a
, tratando
como constante, porque ao derivar depois em
qualquer função só de
desaparece. Assim:
Se
Calcule a integral passo a passo:
logo
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque ao integrar em
ignoramos possíveis funções puras de
).
Passo 5
Determinar
usando a condição
.
Calcule :
Calcule
Igualando a
:
Integre
em relação a
:
onde
é uma constante real.
Então a função potencial completa é
Passo 6
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
constante. Podemos absorver
numa constante arbitrária
. Assim a família de curvas solução é
onde
é a constante de integração. Se desejar, essa expressão pode ser completada em quadrados para escrever de forma mais explícita, mas a forma acima já é uma solução implícita válida.