Determine se as equações abaixo são exatas. Para aquelas que forem exatas, encontre uma solução.
(2 x+3)+(2 y-2) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(2x+3)+(2y-2)\,y'=0
As perguntas são:
  • Determinar se a equação é exata.
  • Se for exata, encontrar uma solução (implícita) da equação.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A equação está escrita na forma M(x,y)+N(x,y)\,y'=0.
  • Os termos visíveis são 2x+3 e 2y-2, que serão usados para identificar M e N.

Passo 2

Identificar M(x,y) e N(x,y) comparando com a forma M(x,y)+N(x,y)\,y'=0.
Portanto:
M(x,y)=2x+3,\qquad N(x,y)=2y-2.

Passo 3

Explicar o teste de exatidão e aplicá-lo. Uma equação na forma M(x,y)+N(x,y)\,y'=0 é exata se existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)\quad\text{e}\quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
Um teste prático: a equação é exata se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calcule as derivadas parciais (mostrando passo a passo):
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x+3)=0,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2y-2)=0.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=0, a equação é exata.

Passo 4

Método para obter a solução a partir da exatidão (aqui com bastante detalhe didático).
Se \Phi(x,y) é a função potencial, então \partial\Phi/\partial x=M(x,y). Integramos M em relação a x, tratando y como constante, porque ao derivar depois em x qualquer função só de y desaparece. Assim:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int (2x+3)\,dx.
Calcule a integral passo a passo:
\int 2x\,dx = x^2,
\int 3\,dx = 3x,
logo
\Phi(x,y)=x^2+3x+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque ao integrar em x ignoramos possíveis funções puras de y).

Passo 5

Determinar h(y) usando a condição \partial\Phi/\partial y=N(x,y).
Calcule \partial\Phi/\partial y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=h'(y).
Igualando a N(x,y):
h'(y)=N(x,y)=2y-2.
Integre h'(y) em relação a y:
h(y)=\int (2y-2)\,dy=\int 2y\,dy - \int 2\,dy = y^2 - 2y + C_0,
onde C_0 é uma constante real.
Então a função potencial completa é
\Phi(x,y)=x^2+3x+y^2-2y + C_0.

Passo 6

A solução geral da equação exata é dada implicitamente por \Phi(x,y)= constante. Podemos absorver C_0 numa constante arbitrária C. Assim a família de curvas solução é
x^2+3x+y^2-2y = C,
onde C\in\mathbb{R} é a constante de integração. Se desejar, essa expressão pode ser completada em quadrados para escrever de forma mais explícita, mas a forma acima já é uma solução implícita válida.

Resposta

x^2+3x+y^2-2y=C

Exercícios relacionados