Determine as equações em coordenas cilíndricas e coordenadas esféricas das superfícies que em coordenadas cartesianas (x, y, z) são dadas pelas equações abaixo:
x^{2}+y^{2}=a, a \neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a superfície
x^{2}+y^{2}=a,\quad a\neq 0
usando coordenadas cilíndricas e esféricas. Vamos precisar lembrar das transformações
– coordenadas cilíndricas:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z
– coordenadas esféricas:
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas substituímos
x^{2}+y^{2} = r^{2}.
Logo a equação x^{2}+y^{2}=a vira
r^{2} = a.
Como r\ge0, podemos escrever
r = \sqrt{a},
desde que a>0 (se a<0, não há pontos reais).

Passo 3

Em coordenadas esféricas temos
x^{2}+y^{2} = (\rho\sin\varphi)^{2} = \rho^{2}\,\sin^{2}\varphi.
Então
\rho^{2}\sin^{2}\varphi = a
e, novamente assumindo a>0 e \sin\varphi\neq 0, isolamos \rho:
\rho = \frac{\sqrt{a}}{\sin\varphi}.

Resposta

Em coordenadas cilíndricas:
r = \sqrt{a}.
Em coordenadas esféricas:
\rho = \frac{\sqrt{a}}{\sin\varphi}.

Exercícios relacionados