Faça um esboço da superfície dada em coordenadas cilíndricas ( r, \theta, z ) pelas equações abaixo:
(\mathrm{e}) z=\theta

Passo 1

O enunciado pede o esboço da superfície em coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) dada por
z = \theta.
O objetivo é ver que tipo de superfície isso gera em (x,y,z), reconhecer suas geratrizes e traçar um desenho mental de como ela “vira” conforme \theta cresce.

Passo 2

Para visualizar melhor, convertemos para coordenadas cartesianas usando
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z = \theta.
Isso dá a representação paramétrica
\bigl(x(r,\theta),\,y(r,\theta),\,z(r,\theta)\bigr) = \bigl(r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;\theta\bigr).
Esse tipo de superfície é conhecido como helicóide, pois para cada raio r fixo a curva em \theta é uma hélice de raio constante.

Passo 3

Vejamos as curvas para r= constante. Se tomamos r=r_0, então
x(\theta)=r_0\cos\theta,\quad y(\theta)=r_0\sin\theta,\quad z(\theta)=\theta,
que é justamente uma hélice de passo igual a 2\pi na direção z e raio r_0. Essas hélices estão empilhadas para cada valor de r_0.

Passo 4

Agora fixando \theta=\theta_0, temos
z=\theta_0,\quad r\text{ livre},
ou seja, a interseção com o plano horizontal z=\theta_0 é uma semirreta que parte da origem e faz ângulo \theta_0 com o eixo x. Cada plano horizontal carrega uma “régua” única girada de \theta_0.

Passo 5

Juntando tudo: conforme \theta cresce, cada reta horizontal (para \theta fixo) gira no plano xy e sobe na direção z. O resultado é uma superfície que se assemelha a uma rampa helicoidal (um helicóide) com geratrizes helicoidais e geratrizes retas nos planos horizontais.

Resposta

A superfície é um helicóide de equação paramétrica
(x,y,z) = (r\cos\theta,\;r\sin\theta,\;\theta),
isto é, uma “rampa” que gira mantendo raio r e sobe linearmente com \theta.

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