Faça um esboço da superfície dada em coordenadas cilíndricas (
) pelas equações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede o esboço da superfície em coordenadas cilíndricas
dada por
O objetivo é ver que tipo de superfície isso gera em
, reconhecer suas geratrizes e traçar um desenho mental de como ela “vira” conforme
cresce.
Passo 2
Para visualizar melhor, convertemos para coordenadas cartesianas usando
Isso dá a representação paramétrica
Esse tipo de superfície é conhecido como helicóide, pois para cada raio
fixo a curva em
é uma hélice de raio constante.
Passo 3
Vejamos as curvas para
constante. Se tomamos
, então
que é justamente uma hélice de passo igual a
na direção
e raio
. Essas hélices estão empilhadas para cada valor de
.
Passo 4
Agora fixando
, temos
ou seja, a interseção com o plano horizontal
é uma semirreta que parte da origem e faz ângulo
com o eixo
. Cada plano horizontal carrega uma “régua” única girada de
.
Passo 5
Juntando tudo: conforme
cresce, cada reta horizontal (para
fixo) gira no plano
e sobe na direção
. O resultado é uma superfície que se assemelha a uma rampa helicoidal (um helicóide) com geratrizes helicoidais e geratrizes retas nos planos horizontais.
Resposta
A superfície é um helicóide de equação paramétrica
isto é, uma “rampa” que gira mantendo raio
e sobe linearmente com
.