Determine as equações em coordenas cilíndricas e coordenadas esféricas das superfícies que em coordenadas cartesianas (x, y, z) são dadas pelas equações abaixo:
x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}, a \neq 0.

Passo 1

O enunciado dá a superfície
x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2},
que é uma esfera de raio a centrada na origem em coordenadas cartesianas (x,y,z). Para reescrevê-la em outras coordenadas, precisamos usar as transformações de coordenadas cilíndricas (r,\theta,z) e esféricas (\rho,\theta,\varphi).

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas as relações são
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z.
Substituindo em x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} obtemos
(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}+z^{2} = r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+z^{2} = r^{2}+z^{2} = a^{2}.

Passo 3

Em coordenadas esféricas as relações são
x = \rho\,\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\,\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\,\cos\varphi.
Substituindo em x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2} obtemos
\rho^{2}\bigl(\sin^{2}\varphi(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)+\cos^{2}\varphi\bigr) = \rho^{2}(\sin^{2}\varphi+\cos^{2}\varphi) = \rho^{2} = a^{2},
logo \rho=a (considerando a>0).

Resposta

Em coordenadas cilíndricas:
r^{2} + z^{2} = a^{2}.
Em coordenadas esféricas:
\rho = a.

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