1. Determine as equações de duas esferas que estejam centradas na origem e sejam tangentes à esfera de raio 1 centrado em (3,-2,4).

Passo 1

O enunciado pede esferas centradas na origem cuja equação seja
x^2 + y^2 + z^2 = R^2
e que sejam tangentes à esfera S de centro C=(3,-2,4) e raio 1. Para isso vamos usar as condições de tangência entre duas esferas.

Passo 2

Calculemos a distância entre os centros, isso é
d = \sqrt{3^2 + (-2)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}.

Passo 3

Para tangência externa vale
R + 1 = d \quad\Longrightarrow\quad R = \sqrt{29} - 1.
Logo uma das esferas é
x^2 + y^2 + z^2 = \bigl(\sqrt{29} - 1\bigr)^2 = 30 - 2\sqrt{29}.

Passo 4

Para tangência interna (ou seja, a esfera de raio 1 fica inteiramente dentro da de raio R) vale
R - 1 = d \quad\Longrightarrow\quad R = \sqrt{29} + 1.
Assim a outra esfera é
x^2 + y^2 + z^2 = \bigl(\sqrt{29} + 1\bigr)^2 = 30 + 2\sqrt{29}.

Resposta

As duas esferas são
x^2 + y^2 + z^2 = 30 - 2\sqrt{29} \quad\text{e}\quad x^2 + y^2 + z^2 = 30 + 2\sqrt{29}.

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