1. (a) Mostre que (2,1,6),(4,7,9) e (8,5,-6) são vértices de um triângulo retângulo.
    (b) Que vértice está no ângulo reto?
    (c) Determine a área do triângulo.

Passo 1

O enunciado dá três pontos em \mathbb{R}^3: A=(2,1,6), B=(4,7,9) e C=(8,5,-6).
Queremos mostrar que formam um triângulo retângulo (a), identificar o vértice do ângulo reto (b) e calcular a área (c). Para isso usaremos produto escalar para testar perpendicularidade e magnitudes de vetores para a área.

Passo 2

Vamos trabalhar no vértice A. Definimos
\overrightarrow{AB}=B-A=(4-2,\;7-1,\;9-6)=(2,6,3),
\overrightarrow{AC}=C-A=(8-2,\;5-1,\;-6-6)=(6,4,-12).
Calculamos o produto escalar:
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} =2\cdot6+6\cdot4+3\cdot(-12) =12+24-36=0.

Passo 3

Como \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0, os lados AB e AC são perpendiculares. Logo:
(a) o triângulo é retângulo.
(b) o ângulo reto está em A=(2,1,6).

Passo 4

Agora calculamos as magnitudes dos catetos no vértice A:
\|\overrightarrow{AB}\| =\sqrt{2^2+6^2+3^2} =\sqrt{4+36+9} =\sqrt{49}=7,
\|\overrightarrow{AC}\| =\sqrt{6^2+4^2+(-12)^2} =\sqrt{36+16+144} =\sqrt{196}=14.

Passo 5

A área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos:
\text{Área} =\frac{1}{2}\times\|\overrightarrow{AB}\|\times\|\overrightarrow{AC}\| =\frac{1}{2}\times7\times14 =49.Á

Resposta

(a) Sim, é um triângulo retângulo.
(b) Vértice do ângulo reto: (2,1,6).
(c) Área: 49.

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