(a) Mostre que (2,1,6),(4,7,9) e (8,5,-6) são vértices de um triângulo retângulo.
(b) Que vértice está no ângulo reto?
(c) Determine a área do triângulo.
Passo 1
O enunciado dá três pontos em \mathbb{R}^3: A=(2,1,6), B=(4,7,9) e C=(8,5,-6).
Queremos mostrar que formam um triângulo retângulo (a), identificar o vértice do ângulo reto (b) e calcular a área (c). Para isso usaremos produto escalar para testar perpendicularidade e magnitudes de vetores para a área.
Como \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0, os lados AB e AC são perpendiculares. Logo:
(a) o triângulo é retângulo.
(b) o ângulo reto está em A=(2,1,6).
Passo 4
Agora calculamos as magnitudes dos catetos no vértice A: