Determine as equações na forma paramétrica e simétrica da reta que:
É paralela ao plano x y e passa pelo ponto médio do segmento formado pelos pontos F(3,2,4) e G(3,5,4)

Passo 1

O enunciado pede a reta que é paralela ao plano xy (ou seja, tem vetor diretor com componente z=0) e passa pelo ponto médio do segmento FG, em que
F=(3,2,4),\quad G=(3,5,4).
Vamos primeiro encontrar esse ponto médio.

Passo 2

O ponto médio M de F e G é dado por
M=\Bigl(\frac{3+3}{2},\,\frac{2+5}{2},\,\frac{4+4}{2}\Bigr) =(3,\;3{,}5,\;4).

Passo 3

Um vetor diretor natural para essa reta é o próprio vetor \overrightarrow{FG}, pois \overrightarrow{FG} tem componente z=0 e, portanto, é paralelo ao plano xy. Calculamos
\overrightarrow{FG} =G-F =(3-3,\;5-2,\;4-4) =(0,\;3,\;0).

Passo 4

Podemos simplificar o vetor diretor dividindo por 3, obtendo
\mathbf{v}=(0,1,0).
Com isso, as equações paramétricas da reta são
\begin{cases} x=3+0\cdot t = 3,\\\ y=3{,}5+1\cdot t = 3{,}5 + t,\\\ z=4+0\cdot t = 4, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 5

Para escrever na forma simétrica, note que as componentes x e z são constantes. Em muitos textos diz-se então que
x=3,\quad z=4,
e que o único quociente não-degenerado é
\frac{y-3{,}5}{1}=t.
Logo, de modo equivalente, a forma simétrica “explícita” fica
x=3,\quad z=4, \quad y\;\text{é livre\,.}é

Resposta

Equações paramétricas:
\begin{cases} x=3,\\\ y=3{,}5 + t,\\\ z=4, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.
Equação simétrica (forma reduzida):
x=3,\quad z=4\quad(\text{e }y\text{ livre}).

Exercícios relacionados